TRAB CALC

APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS

Massa e Centro de Massa

Considere uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distribuída sobre esta lâmina com densidade conhecia, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f(x,y) representa a massa por unidade de área em (x,y). Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Neste caso, a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina.
-Quando a densidade f varia de ponto para ponto e f é integrável sobre D, a massa total de D é dada pela equação

O centro de massa C=(x*,y*) da lâmina é determinado pelas equações:

- Quando a densidade é constante, digamos f(x,y) = k, x e y são iguais, respectivamente a:

Neste caso, o ponto (x*,y*) é chamado de centróide da lâmina (ou da região D).

Exemplo: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y.

Solução:
O triângulo D está limitado pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar D por:
D = { (x,y) | 0  x  1, 0  y  2 –2x}

A massa da lâmina é:

Portanto:

Os momentos são:

Assim: ,

Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura:

Momento de Inércia
Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja (x,y) a distância do ponto (x,y) em D à reta L. O momento de inércia da lâmina em relação à reta L é definido como:
I =
O momento de inércia polar em relação à origem, denotado por I0 é definido por:
I0 =

Exemplo
Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por duas circunferências concêntricas de raios a e b, e centro na origem, onde a está no intervalo [0,b]. Calcule, o momento de inércia polar.
Pela fórmula, temo que o momento de inércia polar da lâmina D é dado por
I0 = .
Usando mudança polar para calcular a integral, temos
I0 =

Centróide

O