Solucionario Libro Calculo Avanc Ado UFRJ

Cap´ıtulo 1 Exerc´ıcio 1.1: Mostre que o cojunto vazio ´e u ´nico. Solu¸ c˜ ao: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer satisfazendo A = B. Ent˜ ao uma das seguintes possibilidades sempre ocorre: existe x0 ∈ A tal que x0 ∈ / B ou existe x0 ∈ B / A. No primeiro caso, A n˜ ao ´e vazio, pois cont´em x0 . No segundo caso, B tal que x0 ∈ n˜ao ´e vazio. Portanto, se A = B ent˜ ao n˜ ao podem ser ambos vazios. Logo o conjunto vazio ´e u ´nico. Exerc´ıcio 1.2: Seja Λ = ]0, 1[ e Aλ = [λ − 2, λ + 2], ∀λ ∈ Λ. Determine Aλ e λ∈Λ Aλ . λ∈Λ Solu¸ c˜ ao: (a) Provemos que Aλ = (−2, 3). λ Se x ∈ λ Aλ , ent˜ao x ∈ Aλ0 para algum λ0 ∈ (0, 1). Como −2 < λ0 − 2 ≤ x ≤ λ0 + 2 < 3, temos x ∈ (−2, 3). Reciprocamente, se x ∈ / λ Aλ , ent˜ ao x ∈ / Aλ , qualquer que seja λ ∈ (0, 1). Logo, ou x > λ + 2 ou x < λ − 2 qualquer que seja λ ∈ (0, 1). No primeiro caso, necessariamente temos x ≥ 3. No segundo, x ≤ −2. Portanto, x ∈ / (−2, 3). (b) Provemos que Aλ = [−1, 2]. λ Se x ∈ [−1, 2], ent˜ao, para todo λ ∈ (0, 1) temos λ − 2 < −1 ≤ x ≤ 2 < λ + 2. Logo x ∈ (λ − 2, λ + 2), ∀λ ∈ (0, 1). Reciprocamente, se x ∈ / [−1, 2], ent˜ ao x < −1 ou x > 2. No primeiro caso, podemos escolher λ0 ∈ (0, 1) tal que x < λ0 − 2 < −1 para conluir que x ∈ / [λ0 − 2, λ0 + 2]. No segundo caso, escolhemos λ1 ∈ (0, 1) tal que 2 < λ1 + 2 < x para concluir que x∈ / [λ1 − 2, λ1 + 2]. Portanto, se x ∈ / [−1, 2] ent˜ ao x ∈ / λ Aλ . Exerc´ıcio 1.3: Considere os conjuntos A= Aλ e λ∈Λ B=…

Cálculo 1 S. Friedli Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Minas Gerais Versão 1.0 16 de fevereiro de 2013 Apostila em acesso livre em www.mat.ufmg.br/~sacha. ii (16 de fevereiro de 2013). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br Versão 1.0 Sumário 1 Fundamentos 1.1 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Equações do primeiro e segundo grau . .…

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A importância da História da Matemática na disciplina de Cálculo UNICAMP 2008 1 2 A REGRA DE L’HÔPITAL ANÁLISE HISTÓRICA DA REGRA DE L’HÔPITAL A importância da História da Matemática na disciplina de Cálculo Este exemplar corresponde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida por Everaldo Fernandes Barbosa e aprovada pela comissão julgadora. Banca Examinadora: 1. Profa. Dra. Circe Mary Silva da Silva Dynnikov (UFES) 2. Prof.…