Solucionario Libro Calculo Avanc Ado UFRJ

Solu¸ c˜ ao dos Exerc´ıcios
Cap´ıtulo 1
Exerc´ıcio 1.1: Mostre que o cojunto vazio ´e u
´nico.
Solu¸ c˜ ao: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer satisfazendo A = B. Ent˜ ao uma das seguintes possibilidades sempre ocorre: existe x0 ∈ A tal que x0 ∈
/ B ou existe x0 ∈ B
/ A. No primeiro caso, A n˜ ao ´e vazio, pois cont´em x0 . No segundo caso, B tal que x0 ∈ n˜ao ´e vazio. Portanto, se A = B ent˜ ao n˜ ao podem ser ambos vazios. Logo o conjunto vazio ´e u
´nico.
Exerc´ıcio 1.2: Seja Λ = ]0, 1[ e Aλ = [λ − 2, λ + 2], ∀λ ∈ Λ. Determine
Aλ

e

λ∈Λ

Aλ . λ∈Λ Solu¸ c˜ ao: (a) Provemos que
Aλ = (−2, 3). λ Se x ∈ λ Aλ , ent˜ao x ∈ Aλ0 para algum λ0 ∈ (0, 1). Como −2 < λ0 − 2 ≤ x ≤ λ0 + 2 <
3, temos x ∈ (−2, 3).
Reciprocamente, se x ∈
/ λ Aλ , ent˜ ao x ∈
/ Aλ , qualquer que seja λ ∈ (0, 1). Logo, ou x > λ + 2 ou x < λ − 2 qualquer que seja λ ∈ (0, 1). No primeiro caso, necessariamente temos x ≥ 3. No segundo, x ≤ −2. Portanto, x ∈
/ (−2, 3).
(b) Provemos que
Aλ = [−1, 2]. λ Se x ∈ [−1, 2], ent˜ao, para todo λ ∈ (0, 1) temos λ − 2 < −1 ≤ x ≤ 2 < λ + 2. Logo x ∈ (λ − 2, λ + 2), ∀λ ∈ (0, 1).
Reciprocamente, se x ∈
/ [−1, 2], ent˜ ao x < −1 ou x > 2. No primeiro caso, podemos escolher λ0 ∈ (0, 1) tal que x < λ0 − 2 < −1 para conluir que x ∈
/ [λ0 − 2, λ0 + 2].
No segundo caso, escolhemos λ1 ∈ (0, 1) tal que 2 < λ1 + 2 < x para concluir que x∈ / [λ1 − 2, λ1 + 2]. Portanto, se x ∈
/ [−1, 2] ent˜ ao x ∈
/ λ Aλ .
Exerc´ıcio 1.3: Considere os conjuntos
A=

Aλ

e

λ∈Λ

B=

Bλ , λ∈Λ onde Λ = [0, 1[ e
Aλ = (x, y) ∈ R2 ; (x − λ)2 + y 2 ≤ λ2 /2 ,

Bλ = (x, y) ∈ R2 ; (x − λ)2 + y 2 = λ2 /2 .
1

Mostre que A = B. Fa¸ca um esbo¸co gr´ afico de A.
Solu¸
c˜ ao: Sejam
Aλ = (x, y) ∈ R2 ; (x − λ)2 + y 2 ≤ λ2 /2 ,

Bλ = (x, y) ∈ R2 ; (x − λ)2 + y 2 = λ2 /2 .
Ent˜ao, para cada λ ∈ [0, 1), Bλ ´e a fronteira de Aλ . Sejam
A=

Aλ

e

B=

λ

Bλ . λ Como Bλ ⊂ Aλ para todo λ ∈ [0, 1), temos B ⊂ A. Por outro lado, se (x0 , y0 ) ∈ A, ent˜ao (x0 , y0 ) ∈ Aλ0 para algum λ0 ∈ [0, 1).
Se λ0 = 0, ent˜ao