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crescentes, vindo de x = 0 e indo para −∞. c˜ a A concavidade em equa¸oes autˆnomas tamb´m ´ bem mais simples. As regi˜es de c˜ o e e o concavidade s˜o “bandas” no plano tx. De fato, na equa¸ao a c˜ dx = f (x), dt a concavidade ´ dada pelo sinal e df (x) d2 x df (x) dx = f (x). = dt2 dx dt dx ˆ 2. EQUACOES AUTONOMAS E LINHAS DE FASE ¸˜ 55 Assim, as regi˜es de concavidade para cima s˜o dadas por o a {(t, x); f (x)f (x) > 0, t ∈ R} = R × {x; f (x)f (x) > 0}, que ´ a uni˜o…

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