Determine M E N Para Que Os Conjuntos De Vetores Do R3

. . . . . . . . 1.1.1 Operacoes com Matrizes . . . . . . ¸˜ ´ 1.1.2 Propriedades da Algebra Matricial 1.1.3 Aplicacao: Cadeias de Markov . . ¸˜ ´ Apˆ ndice I: Notacao de Somatorio . . . . e ¸˜ 1.2 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . ¸˜ 1.2.1 M´ todo de Gauss-Jordan . . . . . e 1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas 1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆ neos . . e 1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . vi 1 1 3 9 15 28 30 34 45 47 52 70 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

MATRIZES, VETORES E ´ GEOMETRIA ANALITICA Reginaldo J. Santos Departamento de Matem´atica-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi Marc¸o 2012 Matrizes, Vetores e Geometria Anal´ıtica Copyright c 2012 by Reginaldo de Jesus Santos (120228) E´ proibida a reproduc¸a˜ o desta publicac¸a˜ o, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr´evia autorizac¸a˜ o, por escrito, do autor. ˜ Editor, Coordenador de Revis˜ao, Supervisor de Produc¸a˜ o, Capa e Ilustrac¸oes: Reginaldo

. . . . . . . . 1.4 Superf´ıcies qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i v . . . . 1 1 2 3 4 2 Fun¸ca˜ o de duas vari´aveis 2.1 Dom´ınio, imagem e gr´afico de uma func¸a˜ o de duas vari´aveis . . . . . . . 2.2 Curvas de n´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 17 3 Limite e Continuidade 3.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 1.1.1 Operacoes com Matrizes . . . . . . ¸˜ ´ 1.1.2 Propriedades da Algebra Matricial 1.1.3 Aplicacao: Cadeias de Markov . . ¸˜ ´ Apˆ ndice I: Notacao de Somatorio . . . . e ¸˜ 1.2 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . ¸˜ 1.2.1 M´ todo de Gauss-Jordan . . . . . e 1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas 1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆ neos . . e 1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . vi . . . . . . . . . . 1 1 3 9 15 28 30 34 45 47 52 …

. . . . . . . . 22 co Solu¸˜o de Sistema de Equa¸oes Lineares, caso m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ca c˜ 2.1.4 M´todo de Gauss-Jordan, caso m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e 2.1.5 2.2 Solu¸˜o de um Sistema de Equa¸˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ca co 2.1.2 2.1.3 Solu¸˜o de Sistema de Equa¸oes Lineares, caso n > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ca c˜…

todos os anos na tentativa de melhorá-lo. Para isso, sugestões, correções e contribuições por parte do leitor são bem-vindas. Pede-se, pela mesma razão, compreensão e boa vontade aos alunos que o utilizarem. O texto é conceitual e contém muita matemática, requerendo esforço e persistência dos alunos. Procurou-se apresentar os tópicos matemáticos de forma mais operacional, ou seja, de forma simples e intuitiva, sem rigorismo. É um texto para Engenheiros, não para Matemáticos

positivas . . . . . . . . . . . . . . . 354 9. ˜ de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Func¸oes 356 J. Delgado - K. Frensel 0 ´ Instituto de Matematica - UFF ˜ Noc¸oes Preliminares 1. Corpos ˜ chamaUm corpo comutativo e´ um conjunto K, cujos elementos sao ˜ dos escalares, com um par de operac¸oes: + · x ∈ K e y ∈ K =⇒ x + y ∈ K x ∈ K e y ∈ K =⇒ xy = x · y ∈ K ˜ (adic¸ao) ˜ (multiplicac¸ao) que satisfazem as seguintes propriedades: ˜ e´ comutativa: x + y = y +…

. . . . . . . . 22 co Solu¸˜o de Sistema de Equa¸oes Lineares, caso m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ca c˜ 2.1.4 M´todo de Gauss-Jordan, caso m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e 2.1.5 2.2 Solu¸˜o de um Sistema de Equa¸˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ca co 2.1.2 2.1.3 Solu¸˜o de Sistema de Equa¸oes Lineares, caso n > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ca c˜…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................12 2.6 Atividades 2....................................................................................................................14 Parte 3 – Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares..........17 3.1 Vetores ...........................................................................................................................17 3.2 Matrizes............................................................................................................