A variação da pressão atmosférica com a altitude

A relevância da pressão atmosférica foi estudada pelos cientistas do século XVII, Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, culminando com a clássica experiência de Von Guerrick sobre os hemisférios de aço (Figura acima). Pascal verificou que uma coluna de mercúrio de [;76\ cm;], fica em equilíbrio com a pressão atmosférica ao nível do mar e que esta coluna fica menor a medida que aumentamos a altitude.

Neste post, investigaremos como ocorre a variação da pressão atmosférica com a altitude. Para isto, adotaremos as hipóteses simplificadoras dadas abaixo.

Hipótese 1: Adotaremos a aceleração da gravidade constante na pequena camada em que se encontra a atmosfera terrestre.

Na verdade, a atmosfera terrestre é uma camada composta de várias subcamadas estratificadas de modo que a taxa de variação da temperatura em relação a altitude não é constante.

Hipótese 2: Suponhamos também que o ar é um gás ideal, formado por um só componente, o mais abundante, o nitrogênio.

Dessas três hipóteses, deduziremos que a pressão atmosférica segue uma lei exponencialmente decrescente e para isto, considere um eixo vertical [;z;] apontado para cima e com origem na superfície terrestre. A seguir examinemos as forças sobre um pequeno elemento de volume de seção [;A;] e espessura [;\Delta z;] compreendido entre as alturas [;z;] e [;z + \Delta z;] conforme a figura abaixo.

A força efetiva [;F_z;] nesta pequena caixa é dada por

[;[P(z + \Delta z) - P(z)]A = -\Delta m g \quad \Rightarrow \quad [P(z + \Delta z) - P(z)]A = - A\Delta z \rho g \quad \Rightarrow;]

[;\frac{P(z + \Delta z) - P(z)}{\Delta z} = -\rho g \qquad (1);]

onde é a densidade do ar. Aplicando o limite e fazendo [;\Delta z \to 0;], na expressão [;(1);], segue que

[;\frac{dP}{dz} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{P(z + \Delta z) - P(z)}{\Delta z} = -\rho g \qquad \Rightarrow \qquad \frac{dP}{dz} = -\rho g \qquad (2);]

Em geral, a densidade do ar varia com a pressão e com a temperatura absoluta do ar,