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4. INTEGRAIS
4.1 INTEGRAL INDEFINIDA
A integral indefinida da função f(x), denotada por ∫ f  x  dx , é toda expressão da forma F(x) + C, em que F´(x) = f(x) num dado intervalo [a,b] e C é uma constante arbitrária. A função F(x), cuja derivada equivale a f(x), é denominada primitiva de f(x). Exemplos:
1) ∫ dx = x  C
Como, neste caso, temos f(x) = 1, obviamente a primitiva é F(x) = x, pois
F´(x) = x´ = 1 = f(x).
2)

1

∫ x dx = 2 x 2  C

Neste caso f(x) = x, então F(x) = x2/2, pois F´(x) = (x2/2)´ = x = f(x).
3)

1

∫ x 2 dx = 3 x 3  C

Neste caso f(x) = x2, então F(x) = x3/3, pois F´(x) = (x3/3)´ = x2 = f(x).
4)

∫ cos x dx = sen x  C

Neste caso f(x) = cos x, então F(x) = sen x, pois F´(x) = (sen x)´ = cos x = f(x).
5)

∫ sen x dx = − cos x  C

Neste caso f(x) = sen x, então F(x) = – cos x, pois F´(x) = (– cos x)´ =
– (– sen x) = sen x = f(x).
6)

∫

dx
= ln x  C x Neste caso f(x) = 1/x, então F(x) = ln x, pois F´(x) = (ln x)´ = 1/x = f(x).
Algumas propriedades de integrais incluem:
a)

∫ k f  x  dx = k ∫ f  x  dx

b)

∫ [ f  x  g  x ]dx = ∫ f  x dx  ∫ g  x  dx

, sendo k uma constate real

Exemplos:

3

a)

∫ 3 x dx = 3∫ x dx = 2 x 2  C

b)

∫ 7 x 2−3 dx = ∫ 7 x 2 dx − ∫ 3 dx = 7∫ x 2 dx − 3 ∫ dx = 3 x 3 − 3 x  C

7

4.1.1. DIFERENCIAL
A diferencial corresponde a uma variação infinitamente pequena de uma dada variável. A diferencial de uma função y = f(x) é dada por dy = f ´(x) dx.
Exemplos:
a) se y = x, então dy = x´dx = 1dx = dx
b) se y = x3, então dy = (x3)´dx = 3x2dx
c) se y = cos x, então dy = (cos x)´dx = – sen x dx
Importante: Para obter uma integral pode ser conveniente efetuar uma mudança de variável, ao que será necessário determinar sua diferencial.
Exercício resolvido:
Determine a integral indefinida

∫ cos x sen x dx

.

Resolução:
Se definirmos uma nova variável y = sen x, decorre que sua diferencial será dy = (sen x)´dx = cos x dx
Se