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Operações com Matrizes

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, são iguais, se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos. Notação A = B.

Exemplos:

1) Dadas as matrizes A = e B = , determinar a, b e x para que A = B.
Solução:

A = B = então x = 1, b = 2 e a = 3.

2) Para que ocorra a igualdade das matrizes = qual deve ser o valor de m?

Solução:

como devem ser satisfeitos simultaneamente então m =1.

Adição e Subtração de Matrizes

Dada duas ou mais matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a soma A + B é a matriz C = (cij)mxn, tal que cij = aij + bij.
Dada duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a diferença A – B é a matriz C tal que: cij = aij –bij.

Exemplos:

1)

2) Determine a matriz X na equação matricial + X =

Solução:

Fazendo X = temos que + =

=⇒=

Produto de uma Matriz por um Escalar

Seja a matriz A = (aij)mxn e um número real K com k ≠ 0, o produto de K pela matriz A é dada por uma matriz B, tal que, B = k.A onde bij = k.aij.

Exemplo:
3.= =.

Multiplicação de Matrizes

Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, chama-se o produto AB a matriz C = (ciK)mxp tal que:

cij =

Para todo i ε {1, 2, ... , m} e todo k ε {1, 2, ... , p}.
A definição garante a existência do produto AB se, e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

A n x m . B m x p = C n x p Colunas = Linhas

Exemplos:

1) Dadas as matrizes:
A = e B = vamos, calcular o produto A . B:

A . B = .
Notamos que o produto A . B é possível, pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.

A . B = .

1 . (-3) + 2 . 4 = -3 + 8 = 5 1 . 4 + 2 . 2 = 4 + 4 = 8
3 . (-3) + 4 . 4 = -9 + 16 = 7 3 . 4 + 4 . 2 = 12 + 8 = 20

A . B =
2) Dadas as matrizes A = e B = , efetuar o produto de A . B:
Notamos que o produto é