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Matemática Aplicada

• Conceito físico de derivada

Suponhamos que um objeto seja abandonado a 2000 metros de altura e que a função [pic] indique a altura em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado.
Temos:

S(0) = 2000 – 10. 0² = 2000 m S(5) = 2000 – 10.5² = 1750 m

Logo, nos 5 primeiros segundos, a altura caiu 250 metros.

Portanto, sua velocidade média nesse intervalo de tempo foi de:

[pic]

Já nos 5 segundos seguintes, quando t varia de 5 a 10 segundos, temos:

[pic]

Podemos notar que o objeto cai em movimento acelerado.

Qual a Vm para t variando de 5 a 8 segundos?

• Velocidade Instantânea (VI)

No exemplo anterior, calculemos a velocidade instantânea no instante t = 5 segundos.
Para isso, consideremos a Vm para intervalos de tempo cada vez menores.

Assim, para o intervalo [pic], teremos:

[pic]

[pic]
A velocidade instantânea é o limite para o qual tende a Vm quando o intervalo de tempo tende a zero.
Portanto, a VI no instante t = 5 segundos é dada por:

VI = [pic]

Esse limite é chamado derivada da função S(t) no ponto t = 5.
A derivada de S(t) é indicada por S’(t).

Calcule a VI no instante t = 10 segundos.
Exercícios:

1) Um objeto é abandonado de uma altura de 4000 metros e a função [pic], onde S indica a altura em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado.
Determine:

a) A Vm nos 5 primeiros segundos.

b) A Vm no intervalo de 4 a 10 segundos.

c) A velocidade instantânea no instante 5 segundos.

d) A velocidade instantânea no instante 8 segundos.

1. Um objeto percorre uma curva obedecendo à equação horária [pic].

a) Calcule a sua velocidade média no intervalo de 1 a 4 segundos.

b) Calcule a sua velocidade média no intervalo de 2 a 5 segundos.

c) Calcule a sua velocidade instantânea no instante 2 segundos.

d) Calcule a sua velocidade instantânea no instante 7 segundos.

2. A equação que define o movimento