Tópícos de topologia na reta

Topologia na Reta
- Notas de Aula Prof. Me. Wendhel Raffa Coimbra
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
2012

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Sum´ ario 1 Conjuntos Enumer´ aveis 2 Topologia na Reta
2.1 Conjuntos Abertos . . . . .
2.2 Conjuntos Fechados . . . .
2.3 Pontos de acumula¸c˜ao . . .
2.3.1 Pontos de acumula¸c˜ao
2.4 Fronteira de um conjunto . .
2.5 Conjuntos compactos . . . .

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. . . . laterais . . . .
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SUMARIO

Cap´ıtulo 1
Conjuntos Enumer´ aveis Defini¸c˜ ao 1.1 Um conjunto X ´e dito enumer´avel se for finito ou quando existir uma bije¸c˜ao f : N → X.
Observa¸c˜
ao 1.1 Se X for infinito ent˜ao existe f : N → X uma fun¸c˜ao sobrejetora.
Ou seja, ∀ y ∈ X, ∃ n ∈ N; y = f (n).
Assim, os elementos de X s˜ao termos de uma sequˆencia.
Observa¸c˜
ao 1.2 Se existe f : N → X bijetora ent˜ao existe g : X → N tamb´em bijetora, a saber g = f −1 .
Exemplo 1.1 N ´e enumer´avel.
Solu¸c˜
ao. Basta considerarmos a bije¸c˜ao id : N → N.
Exemplo 1.2 Z ´e enumer´avel.
Solu¸c˜
ao. De fato, tomemos a seguinte fun¸c˜ao f : N → Z, ou seja, k, se n = 2k; f (n) =
−k, se n = 2k − 1. f ´e sobrejetora, pois dado l ∈ Z ent˜ao temos 2 casos:
(i) l > 0, ent˜ao l = f (2l)
(ii) l < 0, ent˜ao l = f (2(−l) − 1)
Assim, sempre existe x ∈ N|f (x) = l. f ´e injetora:
Se f (l) = f (m) temos
1

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CAP´ITULO 1. CONJUNTOS ENUMERAVEIS

2

(i) f (l) > 0 e f (m) > 0 ent˜ao l e m s˜ao pares, ou seja, l = 2x e m = 2y, x, y ∈
N. Da´ı, f (l) = f (m) ⇒ x = y ⇒ 2x = 2y ⇒ l = m.
(ii) Exerc´ıcio!
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Proposi¸c˜ ao 1.1 Todo conjunto