Triângulo de Pascal e Binômino de Newton

Triângulo Aritmético e Binômio de Newton

História
Foram muitos os matemáticos que, um século antes de Pascal, trabalharam com o triângulo aritmético.
O mais antigo parece ter sido Apianus, matemático alemão. Publicou em 1527 um livro intitulado: Rechnung (Cálculo) cuja capa era o triângulo. No entanto o alemão que mais divulgou o triângulo aritmético foi Stifel, principalmente através da Arithmetica Integra em 1544.
Pouco depois dos alemães, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo. Tartaglia foi o que mais se dedicou a ele dando-lhe extrema importância em General Tratado di numeri et misure no ano de 1556. Após este matemático, também outros se dedicaram ao tema como Cardan, Bombelli.
De entre os franceses o que mais divulgou o triângulo antes de Pascal foi Peletier, através da sua Arithmétique, sendo a sua primeira edição em 1549. Também Girard (1629), Mersenne (1636) e outros conheciam este triângulo.
Triângulo Aritmético
Chamamos de Triângulo de Pascal o quadro formado pelos números , chamados números binomiais, coeficientes binomiais ou números combinatórios. Se contarmos as linhas e colunas do Triângulo de Pascal começando do zero, o elemento da linha n e coluna p é. Neste quadro, são dispostos coeficientes de mesmo numerador que se agrupam em uma mesma linha e coeficientes de mesmo denominador se agrupam em uma mesma coluna.

Notação:
Uma outra maneira de denotar seria , onde n representa o número de linhas e p o número de colunas. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
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Uma propriedade dos números binomiais que nos permite construir rapidamente o Triângulo de Pascal é a Relação de Stifel :
Tal relação nos mostra que ao somarmos dois elementos