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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – COORDENAÇÃO: MARIA HELENA www.professorwaltertadeu.mat.brGeometria Analítica – Circunferências – 2013 - GABARITO
1. Dê as coordenadas do centro e o raio das circunferências representadas pelas equações;
a) (x – 5)2 + (y – 4)2 = 1 b) (x + 2)2 + (y + 6)2 = 5 c) (x – 2)2 + y2 = 4 d) x2 + y2 =10
Solução. Considerando que a equação reduzida da circunferência de raio R e centro (c1, c2) é da forma (x – c1)2 + (x – c2)2 = R2, temos:
a) . b) .
c) . d) .
2. Determine a equação reduzida da circunferência que tem:
a) centro em C(2,5) e raio 3 b) centro em M(-1,-4) e raio 2
c) centro em Q(0,-2) e raio 4 d) centro em D(0,0) e raio 5
Solução. Substituindo as informações em (x – c1)2 + (x – c2)2 = R2, temos:
a) . b) .
c) . d) .
3. As seguintes equações representam circunferências. Determine as coordenadas do centro e o raio, em cada caso:
a) x2 + y2 – 4x – 8y +16 = 0 b) x2 + y2 + 8x + 11 = 0 c) x2 + y2 – 4y = 0 d) x2 + y2 – 2x – 2y = 0
Solução. Há duas maneiras:
i) Utilizando o método de completar quadrados. ii) Utilizando as fórmulas pela comparação:
.
a) i) . ii) .
b) i) . ii) .
c) i) . ii) .
d) i) . ii) .
4. Os pontos A(4, – 2) e B(2,0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro (a,b) e raio r. Determine a equação reduzida dessa circunferência.
Solução. Como A e B são extremidades do diâmetro, (a,b) é ponto médio. O raio será a metade da distância entre os extremos.
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5. Determine a equação geral da circunferência com centro no ponto C(2,1) e que passa pelo ponto A(1,1).
Solução. A equação reduzida é (x – 2)2 + (y – 1)2 = R2. Se A(1,1) é ponto da circunferência, então satisfaz à equação dessa circunferência. Substituindo, temos:
.
6. O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo