Tranformação Linear - Definição

Transformação Linear
1. Introdução

1.1. Definição Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V → W é chamada transformação linear de V em W se satisfaz às seguintes condições:

I) T (u + v) = T(u) + T(v)
II) T (αu) = αT(u), ∀u, v ϵ V e ∀α ϵ R.

Em particular, uma transformação linear de V em V (ou seja, se W = V) é chamada operador linear sobre V.

1.2. Exemplos:
a) A transformação nula (ou zero) é linear: T ≡O O: V → W v → O(v) = 0 De fato: I) O (u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v)

II) O(αu) = 0 = α ⋅ 0 = α ⋅ O(u)

b) A transformação identidade é linear. T ≡ I I: V → W v → I (v) = v
De fato: I) I (u + v) = u + v = I(u) +I(v)

II) I (α u) = α u = α. I(u)

c) A transformação projeção de R³ em R² é linear. T: R³ → R² (x, y, z) → T (x, y, z) = (x-y, 2x+z)
De fato: I) T (u + v) = T ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = T ((x1 + x2, y1 + y2, z1+ z2)) = ((x1 + x2) – (y1 + y2), 2 (x1 + x2) + (z1+ z2) = ((x1 – y1 + x2 - y2), 2x + z1+ 2x2 + z2) = ((x1 – y1, 2x1 + z1) + (x2 - y2, 2x2 + z2) = T (u) + T (v)

II) T (α u) = T (α x, α v, α z) = (α x - α y, 2α x + α z) = α (x – y, 2x + z) = αT (u)

d) A função real F: R→ R, tal que F(u) = u² não é uma transformação linear. De fato: I) F (u + v) = (u + v) ² + 2uv ≠ F (u) + F (v)

II) F (αu) = (αu) ² = α²v² ≠ α F (u)

e) A transformação derivada T ≡ D é linear. Pn (R) é o conjunto dos polinômios reais de grau n e f(t), g(t) são polinômios de Pn(R). D: Pn(R) → Pn(R) f (t) → D(f (t)) = f ’(t) De fato: I) D(f (t) + g(t)) = ( f (t) + g(t )' = f ‘(t) + g ‘(t) = D(f(t) + D(g(t))