Trabalhos

1

Resoluções dos exercícios de SÉRIES propostos no Caderno 1
1. Dado que

√ n = n1/2 , a série numérica

1
1
1
1
1
1
√ = 1 + √ + √ + + √ + ··· =
1/2
n n 2
3 2
5
n≥1 n≥1 é uma série de Dirichlet com α = 1/2 ≤ 1, logo é divergente.
2. A série numérica

n≥1

3
3 3 3
3
3
= + + +
+ ··· +
+ ··· n 2
2 4 8 16
1024

é uma série geométrica de razão r = 1/2. Como r = 1/2 ∈ ]−1, 1[ então a série numérica é convergente. Dado que o primeiro termo da série é 3/2, o valor da soma da série é
1o termo
=
S=
1 − razão
3. Temos
3−n = n≥1 n≥1

3
2

3
2 = 3 · 2 = 3.
=
1
1
2
1−
2
2

1
1
1
1 1
+
+ ··· .
= + + n 3
3 9 27 81

3−n é uma série geométrica de razão r = 1/3. Dado que

Portanto, n≥1 r = 1/3 ∈ ]−1, 1[ então a série numérica é convergente. Atendendo a que o primeiro termo da série é 1/3, o valor da soma da série é
1o termo
S=
=
1 − razão

1
3

1
1 3
1
= 3 = · = .
1
2
3 2
2
1−
3
3

4. A série numérica

n≥1

5 · (−3)−n

= n≥1 5 · (−3)−1

n

5 5
5
= − + −
+···
3 9 27
1

= n≥1 5· −

1
3

n

é convergente, pois é uma série geométrica de razão r = −1/3 com r = −1/3 ∈ ]−1, 1[. Dado que o primeiro termo da série numérica é
5/3, o valor da soma da série é
5
3

S=

1− −

5
5 3
5
= 3 = · = .
4
3 4
4
3

1
3

A série numérica

n≥1

[3 (−1)n ] = −3 + 3 − 3 + 3 − 3 + · · ·

é uma série geométrica de razão r = −1. Dado que r = −1 ∈ ]−1, 1[
/
então a série é divergente. Também o Critério do Termo Geral (ou
Critério Geral de Convergência) permite concluir que a série é divergente. De facto, o termo geral un = 3 (−1)n não tem limite (a subsucessão 3, 3, 3, . . . , 3 (−1)2k , . . . dos termos pares tende para 3 enquanto a subsucessão −3, −3, −3, . . . , 3 (−1)2k−1 , . . . dos termos ímpares tende para −3;há portanto dois sublimites diferentes) logo un = 3 (−1)n
0 (não tende para 0).
A série numérica n≥1 3 = 3 + 3 + 3 + 3 +