Trabalhos anhembi

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Instituto de Matem´tica a ´ PRIMEIRA PROVA UNIFICADA – CALCULO I
´ POLITECNICA E ENGENHARIA QU´ IMICA 11/10/2011.

GABARITO
1a Quest˜o. (2.5 pontos). Responder a 1. Calcule os seguintes limites (a) lim x 1 − 1 − x ln(x) πx tg( ) 2 . (b) lim (2 − x) x→1 x→1+

2. Considere as fun¸˜es h(x) = (x − 1)2 e g(x) = −(x − 1)2 . Seja f (x) uma fun¸˜o co ca definida para toda a reta e que satisfaz g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x real. (a) Prove que f (x) ´ cont´ e ınua em x = 1. (b) Dˆ um exemplo de uma tal fun¸˜o f (x) que n˜o seja diferenci´vel em x = −2. e ca a a

• Solu¸˜o. ca 1. (a) Para resolver isto podemos fazer lim x 1 − 1 − x ln(x) = lim x(ln(x) + 1) − 1 (1 − x) ln(x) .

x→1+

x→1+

Assim, obtemos a indetermina¸˜o 0/0. Logo, pela regra de L’Hˆspital, temos ca o lim x(ln(x) + 1) − 1 (1 − x) ln(x) = lim (2 + ln(x))x (1 − x) − x ln(x)


x→1+

x→1+

= −∞

(n˜o existe). a

(b) Temos a indetermina¸˜o 1∞ . Neste caso podemos fazer ca πx πx tg( ) tg( ) 2 2 = eln (2 − x) (2 − x) ln(2 − x)   cotg( πx ) 2 = e .


Logo, como a fun¸˜o exponencial ´ cont´ ca e ınua, ent˜o a ln(2 − x) πx lim πx tg( ) 2 = ex→1 cotg( 2 ) , lim (2 − x)

x→1

(1)

onde aparece a indetermina¸˜o 0/0. Logo, usando L’Hˆspital podemos concluir ca o que    −1 πx  2sen2 ( )   ln(2 − x) (2 − x) 2  = 2.  lim = lim  π lim  πx πx  = x→1 π(2 − x)  x→1 cotg( x→1 − cossec2 ( π ) 2 ) 2 2 Portanto, substitu´ ındo em (1), temos πx tg( ) 2 = e(2/π) . lim (2 − x) 1

x→1

2. (a) A fun¸˜o f (x) est´ definida em todo IR, logo est´ bem definida em x = 1. Al´m ca a a e disso, temos por hip´tese o −(x − 1)2 ≤ f (x) ≤ (x − 1)2 . Logo, pelo Teorema do Confronto, lim f (x) = 0. Mais ainda, para x = 1 a x→1 desigualdade anterior implica que f (1) = 0. Portanto, x→1 lim f (x) = f (1), isto ´, f (x) ´ cont´ e e ınua em x = 1.

(b) Existem v´rios exemplos, entre eles podemos escolher a f (x) = 0 1 , x ≥ −2 , x < −2 ou f (x) = 0 −x