Trabalho

Alguns Apontamentos Sobre C´lculo a Combinat´rio o

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O objectivo do C´lculo Combinat´rio ´ resolver problemas do tipo: “quana o e tas matriculas de carro ´ poss´ fazer em Portugal”; “quantos n´meros de e ıvel u telefone existem”, etc. Aprender C´lculo Combinat´rio ´ como aprender a a o e escrever: h´ alguns elementos fundamentais (“letras”) que ´ preciso aprender a e a juntar para formar “palavras”. Estes elementos fundamentais s˜o trˆs a e (1) Permuta¸oes; c˜ (2) Rolos da Registadora; (3) Partes de um Conjunto. Imaginemos que temos trˆs pessoas sentadas num banco de jardim; de e quantas formas diferentes ´ poss´ sent´-las? Imaginemos que temos quatro e ıvel a cubos de quatro cores diferentes; quantas torres de quatro cubos ´ poss´ e ıvel construir? Imaginemos que numa corrida partem dez atletas; quantas s˜o as a ordens pelas quais estes dez atletas podem chegar ` meta? a Em todos estes problemas basta contar o n´mero de trocas (permuta¸˜es) u co que podemos fazer. Por exemplo, se as pessoas no banco de jardim s˜o a A(nt´nio), B(eatriz), C(arlos), elas podem-se sentar das seguintes formas: o ABC, BCA, CAB, ABC, CBA, BAC. Nos cubos ´ semelhante. Se as cores s˜o A(marelo), B(ranco), C(astanho), e a E(sverdeado), podemos empilhar os cubos das formas seguintes: ABCE, BCEA, BEAC, etc. Finalmente, se os ateletas est˜o numerados de 0-9, eles podem chegar ` a a meta pelas ordens seguintes: 0123456789, 3256478910, etc.

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Em todos os casos como se pode saber facilmente qual ´ o n´mero de e u possibilidades, qual ´ o n´mero de trocas, qual ´ o n´mero de permuta¸˜es? e u e u co O n´mero de permuta¸˜es de n elementos ´ n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2. Assim, u co e o primeiro problema acima tem 3 pessoas logo h´ 3! maneiras diferentes de a sentar as pessoas no banco de jardim. E 3! = 3 × 2 = 6. O problema dos cubos resolve-se calculando as permuta¸˜es de 4 cubos co diferentes o que d´ 4! = 4 × 3 × 2 = 24. a O problema dos atletas resolve-se calculando as permuta¸oes