Trabalho de programação

1a lista de Equa¸oes Diferenciais B – 1a parte c˜
Universidade Federal de S˜o Jo˜o del-Rei - CAP a a

ENTREGA: 4/2/2013 (Civil e Telecomunica¸˜es), 7/2/2013 (Bioco processos e Mecatrˆnica). o A equa¸ao do calor ´ c˜ e ∂u = α2 ∇2 u, ∂t onde o Laplaciano ´ dado por e ∇2 = em duas dimens˜es e por o ∇2 = em trˆs dimens˜es. e o 1. Mostre que o Laplaciano em coordenadas polares ´ e ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + 2 2 , ∂r2 r ∂r r ∂θ lembrando que x = r cos θ e x = r sen θ. Reescreva o Laplaciano acima como ∂ 1 ∂2 1 ∂ r + 2 2 . ∇2 = r ∂r ∂r r ∂θ ∇2 = 2. Analogamente mostre que o Laplaciano em coordenadas cil´ ındricas ´ e ∇2 = 1 ∂ r ∂r r ∂ ∂r + ∂2 1 ∂2 + 2 . r2 ∂θ2 ∂z ∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 ∂x2 ∂y ∂z ∂2 ∂2 + 2 ∂x2 ∂y

3. Mostre que o Laplaciano em coordenadas esf´ricas ´ e e ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂2 1 ∂ , r2 + 2 sen θ + 2 r2 ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen 2 θ ∂φ2 onde x = r sen θ cos φ, x = r sen θ sen φ e z = r cos θ. ATENCAO : Para seguir a nota¸ao usual de problemas que envolvem ¸˜ c˜ a solu¸ao de EDPs em problemas com simetria esf´rica, invertemos a c˜ e nota¸ao dos ˆngulos θ e φ dados no curso de C´lculo III. c˜ a a ∇2 =