Trabalho de probabilidade

F´ısica Estat´ıstica e Mat´ eria Condensada 2011/2
AD1-1 (Aulas 1, 2 e 3) - Solu¸c˜ ao 1. Um certo tipo de motor el´etrico falha se ocorrer uma das seguintes situa¸c˜ oes: emperramento dos mancais, queima dos rolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais prov´ avel do que a queima, esta sendo quatro vezes mais prov´ avel do que o desgaste das escovas. Qual ser´ a a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstˆ ancias? Solu¸ ca ˜o:
Sejam os eventos:
• E = emperramento
• Q = queima
• D = desgaste
Do enunciado temos que P (E) = 2P (Q) e P (Q) = 4P (D). Al´em dessas rela¸c˜ oes temos que
P (E) + P (Q) + P (D) = 1 j´ a que essas s˜ ao todas as formas de falha que podem ocorrer. Dessas trˆes rela¸c˜oes tiramos que P (E) = 8/13, P (Q) = 4/13 e P (D) = 1/13.
2. Suponha que um conjunto seja formado por todos os pontos (x, y) de coordenadas ambas inteiras e que estejam dentro ou sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas x = 0, y = 0, x = 6 e y = 6. Enumere os elementos dos seguintes conjuntos:
(a) A = (x, y)|x2 + y2 ≤ 6 .
(b) B = (x, y)|y ≤ x2 .
(c) C = (x, y)|x ≤ y2 .
(d) B ∩ C.
Solu¸
ca
˜o:
Os valores de x e y dentro da regi˜ ao especificada s˜ ao: x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
(a)
A = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2)}
(b) x2 = 0, 1, 4, 9, 25, 36
B

=

{(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0),
(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1),
(2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2),
(2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3),
(2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4),
(3, 5), (4, 5), (6, 5),
(3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}

(c) y2 = 0, 1, 4, 9, 25, 36
3. Suponha que trˆes digitos (1,2 e 3) sejam escritos em ordem aleat´ oria. (a) Qual a probabilidade de que ao menos um d´ıgito ocupe seu lugar pr´ oprio? (b) O mesmo que em (a) mas com os d´ıgitos 1,2,3 e 4.
(c) O mesmo que em (a) mas com os d´ıgitos 1,2,3,4 e n.
Solu¸
ca
˜o:
Neste problema ´e mais f´
acil