Trab Calculo II 1

´
FACULDADE PITAGORAS
˜
CURSO ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAC
¸ AO
DISCIPLINA CALCULO II

Trabalho de C´alculo II: Integral
Alyston Nascimento
Liana Melo
Wellington Freitas

S˜ao Lu´ıs
2012

Lista Exerc´ıcio Calculo II
Alyston Nascimento, Liana Melo e Wellington Freitas
S˜ao Lu´ıs, 12 de marc¸o de 2012

Profo .: Jackson Martins Reis

2

1o Trabalho em Equipe de C´alculo II: Integral.
Lista de Exerc´ıcios I 2012/1
Calcule as integrais:
∫

x4 − 3x3 + x + 2
.dx
x2 − 2
Soluc¸a˜ o:
Usando o M´etodo de Decomposic¸a˜ o por frac¸oes
˜ parciais:
Dividindo o polinomio x4 − 3.x2 + x + 2 por x2 − 2:
ˆ

10)

−3.x2 +x +2 x2 −2
+2.x2
x2 −1
2
−x x2 −2
0
+x +0
Podemos escrever polinomio x4 − 3.x2 + x + 2 desta forma:
ˆ
x4 − 3.x2 + x + 2 = (x2 − 2).(x2 − 1) + x
Dividindo ambos os membros por (x2 − 2) temos: x4 − 3.x2 + x + 2 (x2 − 2).(x2 − 1) + x
=
⇒
(x2 − 2)
(x2 − 2) x4 − 3.x2 + x + 2 (x2 − 2).(x2 − 1) x =
+ 2
⇒
2
2
x −2 x −2 x −2
4
2 x − 3.x + x + 2 x = x2 − 1 + 2
2
x −2 x −2
Substituindo
na integral ∫ temos: ∫ 4
(
) x − 3.x2 + x + 2 x 2
.dx = x −1+ 2
.dx ⇒
2
∫ 4 x 2− 2
∫
∫x −2 ∫ x − 3.x + x + 2 x .dx = x2 .dx −
.dx +
.dx ⇒
2
2 x −2
∫ 4 x 2− 2
∫
x − 3.x + x + 2 x3 x
.dx
=
−
x
+
.dx + c ⇒ x2 − 2
3
x2 − 2
Aplicando o m´etodo de substituic¸a˜ o de vari´avel na ultima integral temos:
´
du
= x.dx u = x2 − 2 ⇒ du = 2.x.dx ⇒
2
Substituindo temos: ∫ 4
∫
x − 3.x2 + x + 2 x3 du
.dx =
−x+
+c⇒
2
3
2.u
∫ 4 x 2− 2
∫
x − 3.x + x + 2 x3 1 du .dx
=
− x +
.
+c⇒
2
3
2
u
∫ 4 x 2− 2 x − 3.x + x + 2 x3 1
.dx
=
− x + .ln|u| + c ⇒
2
x −2
3
2
Substituindo u por x2 − 2 temos:
∫ 4 x − 3.x2 + x + 2 x3 1
.dx
=
− x + .ln|x2 − 2| + c
2
x −2
3
2 x4 −x4
0

3

∫
√

17)

t t+5 .dt

Soluc¸a˜ o: fazendo u = t + 5 ⇒ t = u − 5 ⇒ dt = du
Substituindo temos:
∫
∫ t u−5
.dt =
√
√ .du ⇒ t +
5
)
∫ ( u
∫
u t 5 dt =
√
√ − √ .du ⇒ u u t +
5
∫
∫
t
.dt = (u.u−1/2 − 5.u−1/2 ).du ⇒
√
t+5
∫
∫ t .dt = (u1/2 − 5.u−1/2 ).du ⇒
√
t+5
∫
∫
∫
t
1/2
.dt = u .du − 5. u−1/2 .du ⇒
√
t+5
∫
t
2
.dt = u3/2 − 5.2.u1/2 + c ⇒
√
3 t+5 ∫
√
t
2 √
.dt