Teoria de Algebra L...escritiva

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Unidade I – ESTUDO DAS CÔNICAS
1) Equação da circunferência
De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções ( x,y) são as coordenadas dos pontos da curva.
No caso de um circunferência de centro C ( xC , yC ) e raio r dados, temos: y r •P
P (x,y) ∈ curva ⇔ d (CP) = r
C • x Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos: d= (x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

r=

(x − x c ) 2 + (y − y c ) 2

r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ²

que é denominada equação reduzida da circunferência.

Exemplos:
1) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C ( 3, -1) e raio r = 2.
Solução :
( x – 3 ) ² + (y – (-1))² = 2², ou seja, ( x – 3 )² + ( y +1)² = 4
2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16.

3) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( x+3)² + (y-1)² = 9

4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5.

Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ².
Desenvolvendo esta equação, temos: r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² r² = x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc²
Reorganizando, teremos: x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² - r² = 0
Pondo
-2xc = a , –2yc = b e xc ² + yc² - r² = c, teremos: x² + y² + ax + by + c = 0

que é a equação geral da circunferência.

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria
Analítica II

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Observamos que:

-2 xc = a ⇒ x c =

−a
2

-2 yc = b ⇒ y c = − b
2

xc² + yc² - r² = c ⇒ r = x c + y c − c
2

2

Exemplos:
1) Determine a equação geral da circunferência de centro C(2,3) e raio 1.

2) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y²- 8x + 12y + 3 = 0.

2) O gráfico da circunferência
Dada a equação (x-1)² + (y-2)² = c, podemos observar os seguintes casos:
a) Se c > 0, então a equação representa uma circunferência de