Teoria das Funções

PROF. GUSTAVO VIEGAS
MATEMÁTICA

Resumo Teórico – Funções
Noção intuitiva (par ordenado)
Par ordenado é um conjunto formado por dois números reais, x e y, no qual necessariamente x é o primeiro elemento e y é o segundo. Representamos por (x, y).
Plano cartesiano
O plano cartesiano é um sistema que permite representar os pares ordenados.
Dizemos que o ponto P tem coordenadas (a, b), em que a é a abscissa e b é a ordenada. Assim, o eixo dos x é o eixo das abscissas e o eixo dos y é o das ordenadas.
A origem é o ponto (0,0).

René Descartes (1596 - 1650)
Definição (produto cartesiano)
O produto cartesiano dos conjuntos não vazios A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) no qual x  A e y 
B.
Representamos por A  B.
Exemplo
Se A = {1, 3} e B = {1, 2, 3},
A  B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3 ,1), (3, 2), (3, 3)}.

Exemplo
Marque os pontos A(2, – 3), B(1, 2), C(– 2, 1) e D(0, – 2).

Definição (relação)
Uma relação entre os conjuntos não vazios A e B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A  B.
Exemplo
Dados A = {1, 3} e B = {1, 2, 3}, considere a relação.

Observação
Essa maneira de representar pontos foi ideia de René Descartes, que a divulgou em 1637 no livro Discurso sobre o método.

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MATEMÁTICA

Definição (função)
Uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B.
Exemplo
Representam funções.

Se f de A em B é uma função que associa x de A com y de B, escrevemos: f: A  B tal que y = f(x)

Definição (domínio, imagem e contradomínio)
Seja f: A  B tal que y = f(x).
O conjunto A é chamado de domínio de f.
O conjunto B é chamado de contradomínio de f.
O conjunto dos y é chamado de imagem de f.
Exemplo

f(1) = 2, f(3) = 1.
O domínio de f é {1, 3}.
O contradomínio de f é {1, 2, 3}.
A imagem de f é {1, 2}.
Exemplo
Exemplo
Não representam funções.
Dom(f) = (– 2, 1]
Im(f) = [– 1, 3)

Observação
A ideia de definir função como fizemos aqui é de 1939, por um grupo francês chamado