Teorema de Zeckendorf

Teoremas de Zeckendorf
Flavio Henrique de Oliveira

Ali Messaoudi

Instituto de Biociˆncias, Letras e Ciˆncias Exatas - IBILCE/UNESP e e
S˜o Jos´ do Rio Preto, SP a e
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RESUMO

Sequˆncia de Fibonacci ´ uma sucess˜o de n´meros que aparece em muitos fenˆmenos da nae e a u o tureza. O italiano Leonardo Fibonacci definiu-a por volta do s´culo XII. Usualmente, a sequˆncia e e de Fibonacci come¸a com 0 e 1 e os n´meros seguintes s˜o definidos recursivamente como a soma c u a dos dois n´meros anteriores. Portato, os primeiros termos da sequˆncia de Fibonacci s˜o u e a 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 146, . . .
Ao transformar esses n´meros em quadrados e dispˆ-los de maneira geom´trica ´ poss´ u o e e ıvel tra¸ar uma espiral perfeita, cuja existˆncia ´ observada em v´rias situa¸˜es. Por exemplo, na c e e a co concha do caramujo, na cauda do camale˜o e nas presas de marfim de um elefante (caso n˜o a a parassem de crescer). As sementes do girassol tamb´m preenchem o miolo dispostas em dois e conjuntos de espirais. Geralmente, 21 no sentido hor´rio e 34 no anti-hor´rio. a a
Denotando os elementos da sequˆncia de Fibonacci por F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 , a e √ sequˆncia (Fn /Fn−1 )n≥2 converge para o n´mero φ = 1+2 5 , chamado n´mero de ouro, ou ainda, e u u propor¸˜o ´urea. Tal propor¸˜o aparece frequentemente nas artes, pois representa ideologicaca a ca mente a beleza divina, j´ que ´ considerada agrad´vel aos olhos. O valor φ ´ de aproximadamente a e a e
1,618. Encontramos o n´mero de ouro e a sequˆncia de Fibonacci em obras de arte, tais como u e
Monalisa e o Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci, e em obras liter´rias tais como o poema a ´pico Il´ e ıada de Homero, Os Lus´ ıadas, de Cam˜es, e Eneida, de Virg´ o ılio. A raz˜o ´urea ainda a a aparece em constru¸˜es, tais como as pirˆmides do Egito, pois cada bloco das pirˆmides ´ 1,618