Tecnicas De Integra O

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
1. Antiderivadas
Nesta unidade, vamos estudar a antiderivação, que é a operação inversa da derivação. Continuando a considerar f ’ como a derivada de f, vamos passar a olhar f como a antiderivada de f ’.
Na derivação, por exemplo, investigamos a seguinte questão: qual é a função derivada da função f (x) = x3? Achamos como resposta a esta pergunta f ’(x) = 3x2. Já na antiderivação, perguntamos: qual é a função f(x) cuja derivada é f ’(x) = 3x2? Encontramos como resposta a função f (x) = x3.
De modo esquemático, partindo de f chegamos, por derivação, a f ’ e, partindo de f ’ chegamos, por antiderivação, a f . derivação f(x) = x

f ’(x) = 3x2

3

antiderivação (ou integração)

Para indicar a antiderivação, usamos o operador ∫ ... dx . Com ele escrevemos:

dy
= 3x 2 dx dy = 3 x 2 dx

.

∫ dy = ∫ 3x dx
2

y = f ( x) = x 3 + C

d 3
( x + C ) = 3 x 2 . Nesta notação, o operador ∫ 3 x 2 dx dx substitui a pergunta “qual é a função f(x) cuja derivada, em relação à x, é f ’(x) = 3x2?”.
O símbolo ∫ é o sinal de antiderivação ou de integração; dx é o elemento de integração e indica a variável independente ou o argumento; C é a constante de integração ou de antiderivação. A função y = f(x) = x3 + C é a antiderivada mais geral ou a integral indefinida. Aqui, o adjetivo indefinida tem o mesmo significado de indeterminada e é usado para indicar que a integral indefinida é uma família de função, ou seja, que uma função tem uma infinidade de antiderivadas, assim como um sistema de equações indeterminado apresenta uma infinidade de soluções.

Em síntese: ∫ 3 x 2 dx = x 3 + C porque

Com base no que foi exposto anteriormente, responda: qual é a função f(t) que tem 7t6 como derivada? 1

2. Integrais imediatas
As integrais indefinidas calculadas a partir das fórmulas de diferenciação são chamadas, por alguns autores, de integrais imediatas. Em nosso estudo, as mais comuns são:
1. ∫ cos x dx = sen x + C
2. ∫ sen x dx = − cos x + C

1 dx = ln | x | + C x 1
6. ∫
dx