soluções dos exercícios do capítulo 2 do guidorizzi vol1

CAPÍTULO 2
Exercícios 2.1
12. a) Sendo a

0, podemos colocá-lo em evidência. Temos então b cˆ b2 Ê f(x) ϭ a Ë x 2 ϩ x ϩ ¯ . Somando e subtraindo na expressão dentro dos a a
4a 2 parênteses, resulta
Ê
b b2 c b2 ˆ f ( x ) ϭ aÁ x 2 ϩ x ϩ ϩ Ϫ
˜ ϭa a 4a 2 a 4a 2 ¯
Ë

De

ÈÊ b ˆ2 c b2 ù ϩ Ϫ
ÍË x ϩ
ú.
2a ¯ a 4 a 2 úû
ÍÎ

c b2 4 ac Ϫ b 2
Ϫ
ϭ e lembrando que ⌬ ϭ b2 Ϫ 4ac, obtemos
2
a
4a
4a 2

b ˆ2
⌬
. f ( x ) ϭ aÊ x ϩ
Ϫ
Ë
2a ¯
4a
2

b ˆ
b) Inicialmente, observamos que, sendo a Ͼ 0, aÊ x ϩ у 0 para todo x; além
Ë
2a ¯ b ˆ2
Ϫb
Ê
. Segue que o menor disso, o menor valor de a x ϩ é zero e ocorre para x ϭ
Ë
¯
2a
2a
Ϫb
Ϫ⌬
.
valor de f(x) é e ocorre para x ϭ
2a
4a b ˆ2
Ê
Յ 0 para todo x; além disso, o maior valor de
c) Sendo a Ͻ 0, a x ϩ
Ë
2a ¯ b ˆ2
Ϫ⌬
Ϫb aÊ x ϩ é zero e ocorre para x ϭ e . Segue que o maior valor de f(x) é
Ë
2a ¯
4a
2a
Ϫb
. ocorre para x ϭ
2a
Ϫ b Ϫ⌬ ˆ
d) Como já sabemos, o gráfico de f é uma parábola; de (b) e (c) segue que ÊÁ
,
˜ éo
Ë 2a

vértice da parábola.

4a ¯

16. a) Multiplicando e dividindo obtemos 1 ϩ x 2 Ϫ | x| ϭ pois ( 1ϩ x

2

( 1ϩ x

2

) ( 1ϩ x

Ϫ | x|
1ϩ

)( 1 ϩ x

Ϫ | x|

1 ϩ x 2 Ϫ | x | pelo seu conjugado

2

x2

2

)ϭ

ϩ | x|

ϩ | x|

) ( 1ϩ x )

ϩ | x| ϭ

2

2

1 ϩ x 2 ϩ | x| ,

1
| x| ϩ 1 ϩ x 2

Ϫ | x | 2 ϭ 1 ϩ x 2 Ϫ x 2 ϭ 1. À

1 medida que |x| vai se tornando cada vez maior, o denominador da fração | x | ϩ 1 ϩ x 2 vai se tornando cada vez maior e, portanto, o valor da fração vai se tornando cada vez mais próximo de zero. Ou seja, à medida que |x| cresce, a diferença

1 ϩ x 2 Ϫ | x | vai se

aproximando cada vez mais de zero. Como 1 ϩ x 2 Ն | x |, isso significa que, à medida que |x| cresce, o gráfico de y ϭ 1 ϩ x 2 vai encostando por cima no gráfico de y ϭ |x|.
(Como será visto mais adiante, y ϭ |x| é uma assíntota para a função y ϭ 1 ϩ x 2 .)
1

17. Observe