Sistemas Polinomiais

Sistemas Polinomiais, Mapas e Origamis

Marcelo Escudeiro Hernandes1
Departamento de Matem´tica a Universidade Estadual de Maring´ a 1 [e-mail]

Introdu¸˜o ca O que sistemas de equa¸˜es polinomiais, colora¸˜o de mapas e co ca origamis possuem em comum? Todos podem ser abordados utilizando
Bases de Gr¨bner! o O objetivo destas notas ´ oferecer ao leitor uma introdu¸˜o `s e ca a
Bases de Gr¨bner e algumas de suas muitas e interessantes aplica¸˜es. o co
O conceito de Bases de Gr¨bner e o algoritmo para obtˆ-las, apreo e sentado por Bruno Buchberger em sua tese de doutorado em meados de 1960 sob orienta¸˜o de Wolfgang Gr¨bner, impressiona pela geca o nialidade, simplicidade e pelo grande n´mero de aplica¸˜es nas mais u co diversas ´reas. Inicialmente desenvolvida para ideais polinomiais, a a teoria de Bases de Gr¨bner foi estendida para ideais dos an´is de s´ries o e e de potˆncias, m´dulos, sub´lgebras e outras estruturas alg´bricas. e o a e
Nestas notas serviremos um aperitivo desta teoria para ideais polinomiais. Esperamos que isto estimule o apetite do leitor na busca de mais detalhes, profundidade e aplica¸˜es deste assunto. co A estrutura destas notas segue a seguinte trilha: Iniciaremos
(re)vendo o anel de polinˆmios em uma indeterminada passando na o sequˆncia para o estudo de an´is de polinˆmios em v´rias vari´veis, e e o a a maneiras de ordenar monˆmios, ideais e uma generaliza¸˜o do algoo ca ritmo da divis˜o. a Na sequˆncia, introduziremos o conceito de Bases de Gr¨bner e e o nos concentraremos em sua constru¸˜o, para tanto seguiremos os pasca sos de Buchberger definindo S-polinˆmio e apresentando seu famoso o algoritmo.
Como aplica¸˜es do algoritmo de Buchberger, veremos como reco solver sistemas de equa¸˜es polinomiais. Como subproduto desta co aplica¸˜o, veremos como modelar algebricamente o problema da coca ii lora¸˜o de mapas com trˆs cores sem que regi˜es adjacentes