Sistemas operacionais

DERIVADAS Derivada como taxa de variação Sejam x e y duas grandezas que variam de tal forma que y é uma função de x. A partir de um valor x0, fixado, fazendo x variar de ∆ x, y variará também de ∆ y x0

→ f(x0 )

∆x = h

∆y ∆x

= taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x

x0 + h → f(x0 +h)

∆ y = f((x0 +h) - f(x0 )

Se lim

∆y ∆x

existe e é finito, esse limite dá a taxa instantânea de variação da grandeza y em relação à grandeza x.

∆x→ 0

Fixemos um valor de x = x0 lim

∆y ∆x

=

lim

f ( x0 + h) − f ( x0 ) . h

∆x→ 0

h→ 0

Esse limite é chamada de derivada de f(x) no ponto de abscissa x = x0 e indicamos por: f’(x0) = lim

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

h→ 0 Exemplo: Encontre a derivada de f(x) = x2 no ponto de abscissa x = 4 f’(4) = lim h→0

f ( 4 + h ) − f ( 4) ( 4 + h ) 2 − ( 4) 2 16 + 8h + h 2 − 16 h(8 + h) = lim = lim = lim =8 h h h h h→0 h→0 h→0

Exercícios: Calcule a derivada de f(x) no ponto indicado: 1) f(x) = x2 ; x = -2 2) f(x) = 3x + 4 ; x = 4 3) f(x) = 2x – x2 ; x = -2

4) f(x) = x3 ; x = -1

Derivada como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa x = x0 Significado geométrico da derivada

A partir do gráfico de uma função podemos obter uma importante interpretação da noção de derivada. f(x) Inclinação = taxa média de variação

B f ∆y = tangente do ângulo que ∆x f(x0 + h) – f(x0) a reta forma com o eixo x

A h ) x0
X0 + h f(x) x

B B A B
Inclinação = taxa instantânea de variação

x a A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente do ângulo formado pela tangente à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

m = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x = x0 f ( x0 + h) − f ( x0 ) ∆y lim = mt = f’(x0) = lim ∆x h ∆x→ 0 h →0

Exemplo: Determine o coeficiente angular da