Reta tangente

A reta tangente

Taxa de variação é quanto varia uma determinada grandeza em relação a outra. Suponha um automóvel se deslocando com uma velocidade de 50 km/h. Neste caso a grandeza espaço varia de 50 km em cada hora e, portanto, a taxa de variação do espaço em relação ao tempo é de 50 km/h.

Vimos no início do semestre que o gráfico da função é uma reta. Nesta equação a é a taxa de variação (coeficiente angular) de x com y.

Depois vimos: Se a reta s que passa pelos pontos P(x0, y0) e Q(x, y). A taxa de variação entre esses pontos será o coeficiente angular dessa reta, dado pela expressão:

Agora vamos considerar a reta t tangente a curva f no ponto P.

Imagine que o ponto Q se aproximando cada vez mais do ponto P. Quando Q estiver tendendo a P, ou seja, praticamente os dois coincidindo, a reta s ficará praticamente coincidente com a reta t e, por conseqüência, ambas terão o mesmo coeficiente angular a.

Disso podemos concluir que os coeficientes angulares das retas tangentes a uma curva qualquer é igual a derivada da equação dessa curva. Substituindo na derivada x pelo valor de x0 teremos o coeficiente angular (taxa de variação) da reta t, que é tangente ao gráfico de f, exatamente no ponto P.

Exercícios:

1) Determine a equação da reta t tangente ao gráfico da função no ponto de tangencia P = (3, – 3).

Como tem de passar por x0 = 3 temos:

O coeficiente angular da reta tangente a no ponto x = 3 é a = 2.

Vimos que tendo o coeficiente angular e um ponto podemos determinar a equação da reta.

2) Determine a equação da reta t tangente da função e a abscissa do ponto de tangencia é x0 = – 1.

Para determinarmos a equação de t devemos ter x0 , y0 e o coeficiente angular a.

Como é dado que x0 = – 1 podemos determinar y0 , substituindo x0 na equação de y.

Agora devemos determinar a.

Substituindo x por x0 = – 1 obtemos o coeficiente angular a.

Tendo x0 , y0 e a determinamos a equação