Resumo cinemática - mecânica i

CINEMÁTICA (V, A, At, Ac), ângulos

A velocidade V da partícula pode ser decomposta em dois vetores, Vr e Vo. Primeiro é preciso achar esses vetores para depois, através da relação V= (Vr²+Vo²)^(1/2), achar o vetor V.
Para achar Vr, derivamos a expressão R(t),que é a função da posição R em relação ao tempo.
Para achar Vo, derivamos a expressão O(t), que é a função do ângulo O em relação ao tempo, e multiplicamos O'(t) por R(t). Para achar a aceleração total A, precisamos das suas componentes Ar e Ao, para então usar a relação A=(Ar²+Ao²)^(1/2).
Para achar Ar, derivamos duas vezes a expressão R(t) e subtraímos desse R''(t) o R(t) multiplicado a O'(t) elevado ao quadrado.
Para achar Ao, multiplicamos R(t) pela derivada de segunda ordem de O(t) e somamos ao R'(t) multiplicado pelo O'(t), multiplicado por 2. Para achar, então, a aceleração tangencial At, precisamos projetar o vetor A na direção da trajetória, ou seja, na direção do vetor V. Assim, At será o vetor A multiplicado pelo cosseno do ângulo entre os vetores A e V. Para achar esse ângulo, primeiro, achamos o ângulo que V faz com o eixo x, que será o ângulo O(t), no tempo desejado, somado ao ângulo ente o V e Vr, que será arctg (Vo/Vr). Depois, temos que achar o ângulo que A faz com o eixo x, que, se Ar e Ao forem positivos, será também O(t) somado ao ângulo entre A e Ar, que será arctg (Ao/Ar). Tendo esses 2 ângulos, agora subtraímos um do outro e achamos o ângulo entre A e V. Já a aceleração centrípeta Ac será a projeção de A no eixo perpendicular a V, já que esta aponta para o centro da trajetória. Logo, Ac será igual ao módulo do vetor A multiplicado pelo seno do ângulo entre o vetor A e o vetor V, detalhado anteriormente. Como da fórmula da força centrípeta (Fc = mv²/R), tiramos que Ac é igual a v²/R, como já temos Ac e a velocidade V, substituímos os 2 na fórmula e obtemos então, o raio R da