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Aplicação de Derivada
Segue abaixo alguns exemplos de otimização fazendo uso de derivadas. Vejam que para encontrarmos os valores de máximo ou mínimo, primeiramente devemos encontrar a função que nos leva à solução do problema, calcular sua derivada, obtendo uma função dependendo somente de uma variável. Em seguida, igualamos a zero, obtendo uma equação. Agora é só calcular seu valor e obteremos o valor de máximo ou de mínimo.
Exemplo 1: Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maio volume possível.
Primeiramente, vamos esboçar um cone genérico, destacando o triângulo retângulo:
[Figura 1-1]
Lembremos que o volume de um cone é dado por:

Dos dados fornecidos no enunciado do problema, temos que:

Substituímos o valor de r da (1.2) na fórmula do volume de cone:

Agora, vamos calcular a deriva da função V(h):

Igualamos a zero para obtermos uma equação que nos leva ao valor de máximo:

Já encontramos a altura h do cone. Para encontrarmos o raio r de sua base, substituímos o valor de h na (1.1):

O cone que possui geratriz igual a 5cm e que possui o maior volume é o de medidas:

Exemplo 2: Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima.
Vamos esboçar um desenho de uma trave genérica:
[Figura 2-1]
Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos que:

A área do gol é dada pela fórmula da área do retângulo formado:

Substituímos a (2.1) na (2.2), obtendo:

Calculamos, agora, a derivada da função A(x):

Igualando a zero, obtermos uma equação linear que nos leva ao cálculo de máximo:

Encontramos a altura x da trave. Para encontrarmos sua altura, substituímos o valor de x na (2.1):

Portanto, a trave deverá ter altura de 4,5m e largura de 9m para que a área de gol seja a maior possível.