Reciclaagem

FNC376N: PROVA 1
15/04/2004

PROVA 1
1. Considere uma part´ ıcula de massa µ confinada a uma regi˜o bidimensional na forma a de um quadrado de lado a. A energia potencial ´ dada por: e V (x, y) = 0, para 0 < x < a e 0 < y < a +∞ de outra forma.

a) A auto-fun¸˜es tˆm a forma co e ψ(x, y) = A sin(kx x) sin(ky y). Determine os valores poss´ ıveis de kx e ky e as auto-energias correspondentes. b) Determine a constante de normaliza¸˜o A. ca c) Liste as auto-energias e as correspondentes degenerescˆncias dos quatro primeiros e n´ ıveis de energia. d) Determine o valor esperado da posi¸˜o da part´ ca ıcula, r = xı + y no estado fundamental. 2. O el´tron de um ´tomo de hidrogˆnio se encontra num estado estacion´rio descrito por e a e a uma fun¸˜o da forma ca 1 ψ(r) = R(r) √ [Y1,1 (θ, φ) + Y1,−1 (θ, φ)] . 2 a) Determine os valores esperados e as correspondentes incertezas i. do quadrado do momento angular, L2 e σL2 , e ii. da componente z do momento angular, Lz e σLz . Lembrete: σA = A2 − A 2 . b) Quais s˜o os valores poss´ a ıveis para o n´mero quˆntico principal n deste estado? u a c) Assumindo que n ´ o menor valor poss´ compat´ com , a fun¸˜o radial tem a e ıvel ıvel ca forma: R(r) = Cr e−r/na0 . Determine o valor m´dio da distˆncia do el´tron ao n´cleo, r , neste caso. Expresse e a e u o seu resultado em fun¸˜o do raio de Bohr a0 . ca 1

´ FORMULARIO
Integrais que podem ser uteis: ´ sin2 (ku)du = 1 [ku − sin(ku) cos(ku)] 2k

1 1 u sin2 (ku)du = u2 − 2 [2ku sin(2ku) + cos(2ku)] 4 8k ∞ n! un e−αu du = n+1 α 0 Equa¸˜o de Schr¨dinger independente do tempo ca o − h2 ¯ 2µ
2

+ V (r) ψ(r) = Eψ(r)

2

∂ ∂ ∂ + +k ∂x ∂y ∂z 2 2 ∂ ∂ ∂2 = + 2+ 2 ∂x2 ∂y ∂z 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ r2 + sin θ = 2 r ∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ = ı

1 ∂2 sin2 θ ∂φ2

Valores esperados A(r, p) = d3 rψ ∗ (r)A (r, −i¯ ) ψ(r) h r2 drR∗ (r)A(r)R(r)

ψ(r) = R(r)Y (θ, φ) → A(r) = Harmˆnicos esf´ricos o e

L2 Y ,m = ( + 1)¯ 2 Y ,m h Lz Y ,m = m¯ Y ,m h

Elementos de volume d3 r = dxdydz = r2 dr sin