Questao concurso

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Dez caixas idênticas precisam ser embarcadas em três navios com capacidades para 2, 4 e 5 dessas caixas, respectivamente. O embarque pode ser feito de quantas maneiras diferentes?
(A) 3
(B) 11
(C) 40
(D) 253
(E) 720

Resolução:

Como temos dez caixas idênticas e capacidade de 11 lugares, significa dizer que apenas um navio ficará incompleto. Logo, como temos 3 navios, poderíamos fazer a combinação de três, um a um (C₃,₁).

C₃,₁ = 3! / (1! x 2!) = 3

Um erro provável seria pensar em C₁₁,₁₀. O erro é que estaríamos considerando cada posição vazia do navio. Por exemplo, no navio de capacidade 5, estaria considerando:
1) x C C C C
2) C x C C C
3) C C x C C
4) C C C x C
5) C C C C x sendo “x” a posição vazia e “C” ocupada pela caixa.
Porém essas posições não existem. Só podemos considerar quantas caixas o navio leva, ou, o raciocínio inverso, quantas posições vazias existem. E nesse ultimo caso, percebe-se que em todos as situações acima o navio possui apenas uma posição vazia. Logo, cada navio só pode estar cheio ou com uma posição vazia, sendo que só um navio pode estar com uma posição vazia por vez. Sendo assim,
1) Navio 1: 1X 1C (posição vazia) Navio 2: 4C Navio 3: 5C
2) Navio 1: 2C Navio 2: 1X 3C (posição vazia) Navio 3: 5C
1) Navio 1: 2C Navio 2: 4C Navio 3: 1X 4C (posição vazia)
Gabarito Letra