prova de matemática

M AT E M Á T I C A
1
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente.

Determine, ao final de 9 dessas operações,
a) quantas tábuas terá a pilha.
b) a altura, em metros, da pilha.
Resolução
A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em que se repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (an) = (1; 2; 4; 8; …), uma progressão geométrica de razão 2.
Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a9 = 1 . 28 = 256.
A altura da pilha será de 256 . 0,5 cm = 128 cm = 1,28 m
Respostas: a) 256 tábuas
b) 1,28 m

2
Uma função de variável real satisfaz a condição f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x.
Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de
a) f(1).
b) f(5).
Resolução
1) f(x + 2) = 2f(x) + f(1), ∀x e f(3) = 6
2) f(1 + 2) = 2 . f(1) + f(1) ⇔ f(3) = 3f(1) ⇒
⇒ 6 = 3f(1) ⇒ f(1) = 2
3) f(3 + 2) = 2 . f(3) + f(1) ⇔ f(5) = 2f(3) + f(1) ⇒
⇒ f(5) = 2 . 6 + 2 ⇒ f(5) = 14
Respostas: a) f(1) = 2
b) f(5) = 14

3
Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor.
P

Q

R

S

Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível colorir o mapa, se:
a) os países P e S forem coloridos com cores distintas?
OBJETIVO

U N E S P (P r o v a d e C i ê n c i a s E x a t a s) - D e z e m b r o /2 0 0 2

b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor?
Resolução
a) Se P e S forem coloridas com cores distintas, existem
4 maneiras de escolher a cor de P,
3 maneiras de escolher a cor de S,
2 maneiras de escolher a cor de Q e
2 maneiras de escolher a cor de R, portanto, 4 . 3 . 2 . 2 = 48 maneiras de colorir o mapa. b) Se P e S forem