progressão aritimetica

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.1

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3. -2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2. 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, a_{n} = (a_{n-1} + a_{n+1}) / 2.
Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por a_n, pode ser obtido por meio da formula1

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r,

em que:

a_1 é o primeiro termo; r é a razão.

Por meio da formula acima também é possível inserir (ou interpolar) uma quantidade de meios aritméticos entre dois números dados, de modo que eles formem parte de uma progressão aritmética. Esse procedimento é chamado de interpolação aritmética.[carece de fontes]
Demonstração

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto a_2 = a_1 + 1 \cdot r; Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n-1, ou seja, que a_{n-1} = a_1 + (n - 2) \cdot r, resulta que o n-ésimo termo é dado por:

a_n = a_{n-1} + r = (a_1 + (n - 2) \cdot r) + r = a_1 + ((n - 2) \cdot r + r) = a_1 + (n - 1) \cdot r.

De forma análoga, demonstra-se a seguinte fórmula, que expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo, para quaisquer inteiros positivos m e n:

a_n = a_m + (n - m) \cdot r

: a_n = a_m + (n - m) \cdot r

a_n = a_m + (n - m) \cdot r

Soma dos termos