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Capítulo 2 - Movimentos de Corpo Rígido. Transformações Homogêneas

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CAPÍTULO 02
MOVIMENTOS DE CORPO RÍGIDO.
TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS

2.1 INTRODUÇÃO

Para o desenvolvimento das equações cinemáticas do manipulador há necessidade de estabelecer vários sistemas de coordenadas para representar as posições e orientações de corpos rígidos. Também é preciso conhecer as transformações de coordenadas entre esses sistemas, de modo a possibilitar que vetores representativos de posições, velocidades e acelerações, dados em um determinado sistema de coordenadas, possam ser representados em outros sistemas de coordenadas.
Neste capítulo serão consideradas as operações de rotação e de translação de um sistema em relação a um outro sistema e apresentada a noção de transformação homogênea, muito usuais em Robótica.

2.2 ROTAÇÕES
Seja um ponto genérico P, do espaço 3D. Deseja-se relacionar as coordenadas de P, dadas no sistema móvel Ox1y1z1, com as coordenadas do mesmo ponto P, em relação ao sistema fixo Ox0y0z0, conforme fig. 2.1:

Fig. 2.1 Relação entre Sistemas de Coordenadas

Capítulo 2 - Movimentos de Corpo Rígido. Transformações Homogêneas

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Sejam i0, j0 e k0 os vetores unitários do sistema fixo Ox0y0z0 e sejam i1, j1 e k1 os vetores unitários do sistema móvel Ox1y1z1. Então, o ponto P pode ser representado nos dois sistemas:
- sistema Ox0y0z0:

p0 = p0xi0 + p0yj0 + p0zk0

(2.2.1)

- sistema Ox1y1z1:

p1 = p1xi1 + p1yj1 + p1zk1

(2.2.2)

Como p0 e p1 representam, na realidade, o mesmo ponto P, pode-se escrever: p0x = p0• i0 = p1• i0 p0y = p0• j0 = p1• j0 p0z = p0• k0 = p1• k0
Levando em conta a eq. (2.2.2): p0x = p1xi1• i0 + p1yj1• i0 + p1zk1• i0 p0y = p1xi1 • j0+ p1yj1 • j0+ p1zk1• j0 p0z = p1xi1 • k0+ p1yj1 • k0+ p1zk1• k0 ou, em forma compacta, como p0 = R10 p1 onde a matriz 3 x 3

 i1 . i 0 j1 . i 0 k1 . i 0 


R 10 = i1 . j0 j1 . j0 k1 . j0


 i1 . k 0 j1 . k 0 k1 . k 0 

(2.2.3)

(2.2.4)