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Problemas e Soluc¸o˜ es em Eletrost´atica

A C Tort

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1

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P ROBLEMAS E S OLUC¸ OES
´
EM E LETROST ATICA vers˜ao beta

A C Tort 1
Instituto de F´ısica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Caixa Postal 68.528; CEP 21941-972 Rio de Janeiro, Brazil
23 de Dezembro de 2009

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Conteudo
Introduc¸a˜ o

3

1

Lei de Coulomb

4

2

Campo El´etrico

13

3

Lei de Gauss

37

4

Potencial El´etrico

55

5

Energia Eletrost´atica; Capacitores

68

6

Movimento de part´ıculas carregadas em campo el´etrico prescrito

79

7

Problemas adicionais

87

Constantes f´ısicas selecionadas

124

2

Introduc¸a˜ o
Os problemas foram mais ou menos agrupados por assunto.

3

Cap´ıtulo 1
Lei de Coulomb

PROBLEMA 1.1 Uma certa carga Q deve ser dividida em duas partes q1 = Q − q e q2 = q.
As cargas q1 e q2 s˜ao fixas e separadas por uma distˆancia d. Mostre que a magnitude da forc¸a entre as cargas pode ser escrita na forma:
F (x) =

Q2
(1 − x) x,
4πǫ0 d2

onde x = q/Q e 0 ≤ x ≤ 1. Para que valores de x a forc¸a e´ nula? Para que valores de x a forc¸a e´ m´axima?

˜ 1. 1 :
S OLUC¸ AO
A intensidade da forc¸a repulsiva entre as duas cargas e´ uma func¸a˜ o de q ′ e se escreve:
1 q ′ (q − q ′ )
.
4πǫ0 r2 A condic¸a˜ o necess´aria para que a repuls˜ao seja m´axima e´ dada por:
F (q ′ ) =

d F (q ′)
= 0. dq′ Segue ent˜ao facilmente que: q q′ = .
2
O leitor poder´a mostrar facilmente que:
4

Cap´ıtulo 1

Lei de Coulomb

5

d2 F ( ′ )
= −2, d q ′2 logo, q ′ = q/2 e´ um ponto de m´aximo da func¸a˜ o F (q ′ ).

PROBLEMA 1.2 Considere o arranjo formado pelas trˆes cargas puntiformes q, κq (κ >
0) e q0 mostrados na figura abaixo. As cargas q e κq s˜ao fixas, mas q0 pode mover-se sobre o semic´ırculo de raio a. Determine em func¸a˜ o dos dados do problema o valor do aˆ ngulo α para o qual a carga q0 permanece em equil´ıbrio e calcule o valor num´erico de α para κ = 8.

q0 a α κq q

˜ 1. 2 :
S OLUC¸ AO
(a) A