Problema de maximização

1) Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro, um quadrado.

a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras sejam mínima ?

b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima ?

RESP :

a) 1º Pedaço : 4L / 4 + 4Pi

b) 2º Pedaço : L.Pi / 4 + Pi

Estou com dificuldade nesses exercícios. Se alguém tiver uma dica agradeço.
Abraço.
Natan↓
Re: Problemas de Maximização e Minimização
Qui 22 Set, 2011 04:28
Olá,

Temos um fio de comprimento que será partido em 2 pedaços para formar um círculo e um quadrado. Sabendo disto podemos escrever:

note que representa o perímetro do círculo de raio formado, e por sua vez representa o perímetro do quadrado formado.

Queremos minimizar a soma das áreas do círculo e do quadrado, isto é, queremos minimizar a função:

que substituindo fica:

os pontos críticos, no caso o mínimo, serão os pontos onde a derivada se anula, então:

que substituindo em chegamos que

Obs: podemos via derivada segunda verificar que esse ponto é de fato um ponto de mínimo da função em questão, mas não farei isso aki

Com isso concluímos que:

o comprimento destinado ao círculo é

o comprimento destinado ao quadrado é

Como vimos a função soma das áreas possui apenas um ponto crítico, que é ponto de mínimo, logo não existe máximo! a saída aki é optar por fazer ou um círculo ou um quadrado e ver qual dos dois possui maior área, então denotando por a área do círculo e por a área do quadrado:

vemos então que construir um círculo produz uma maior área, logo devemos optar por usar todo o barbante para fazer somente o