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A forma correta de escrita da palavra é predeterminado. A palavra pré-determinado está errada. Sempre que quisermos referir alguma coisa que se estabeleceu antecipadamente, sendo determinada de antemão, devemos utilizar o adjetivo predeterminado.

Exemplos:

Ficou predeterminado que os homens seriam responsáveis pela organização do jogo.
Todas as tarefas ficaram predeterminadas, assim não haverá confusões.
Predeterminado é o particípio do verbo predeterminar, formado a partir de composição por justaposição, ou seja, dois vocábulos que se unem numa só palavra: pre + determinar, sem que haja alteração desses elementos formadores. O particípio permite a formação de tempos verbais compostos e transmite a noção da conclusão da ação verbal, ou seja, o estado da ação depois de terminada.

Segundo o Novo Acordo Ortográfico, que entrou em vigor em janeiro de 2009, se utiliza o hífen com os prefixos pró-, pós- e pré-, quando tônicos e autônomos da segunda palavra.
Exemplos: pós-graduação, pré-fabricado, pró-vida,…

Quando os prefixos pro-, pos- e pre- forem átonos e não forem autônomos da segunda palavra, não se emprega o hífen. Ocorre a justaposição do prefixo com o outro elemento, ou seja, formam uma só palavra.
Exemplos: predeterminar, pospor, propor, prever,…

A forma correta de escrita da palavra é predefinido. A palavra pré-definido está errada. Sempre que quisermos referir alguma coisa que se definiu antecipadamente, ou seja, que se predeterminou, que se prefixou, devemos utilizar o adjetivo predefinido. Este adjetivo é usado também para indicar alguma coisa que se previu, que se prognosticou.

Exemplos:

Ficou predefinido quem seriam os responsáveis pela recolha de alimentos para caridade.
Todas as atividades ficaram predefinidas na semana passada, para que não houvesse confusões.

Predefinido é o particípio do verbo predefinir, formado a partir de composição por justaposição, ou seja, dois vocábulos que se unem numa só palavra: pre + definir,