Otimização da Lata de Nescau

Otimização da lata de Nescau.

Volume do produto:

Diâmetro interno da lata = 9,8 cm

r = 9,8 2

r = 4,9 cm

Altura do produto dentro da lata = 9 cm

Logo:

Volume do produto = .r².h

V = .(4,9)².9

V = 678,87 cm³

Minimizando a superfície para um volume fixo V = 678,87 cm³, logo a quantidade a minimizar e a área da lata ou seja o (S) do material:

Então:

S = 2..r² + 2..r.h

Logo:

V = .r².h

h = V .r²

h = 678,87 .r²

Substituindo h na ultima forma de S temos:

S = 2..r² + 2..r.(678.87)
.r²

S = 2..r² + 1357,74 r S’ = 4..r – 1357,74 r² S’ = 0

4..r – 1357,74 = 0 r²

r³ = 1357,74 4.

r = ³√108,04

r = 4,76 cm

substituindo r temos que:

h = V .r²

h = 678,87 .(4,76)²

h = 9,54 cm

Logo a área do material (S) será:

S = 2..(4,76)² + 2..(4,76).(9,54)

S = 427,68 cm²

Logo o volume da lata minimizada será:

V = .r².h

V = .(4,76)².(9,54)

V = 679,07 cm³

Possuindo o volume do produto e o volume da lata minimizada temos que E% é:

E% = (|Vproduto - Vlata|).100 = 0,03% Vlata

Logo podemos expressar (S) como função de r.

Então temos:

S = 2..r² + 1357,74 r

S’ = 4..r - 1357,74 r²

r = 4,76

S(r)
S’(r)

r = 4

- decrescente r = 4,76
427,6
0 mínimo relativo r = 5

+ crescente S’(4) = - 34,6 S’(5) = + 8,52

Então temos:

(- ∞ ; 4,76 ] decrescente

[ 4,76 ; + ∞) crescente

S(4) = 440,0 S(5) = 429,0

Logo:

S” = 4. + 2715,5 r³

S” = 37,74 > 0

Portanto temos que:

r é o mínimo relativo

Tabela dos resultados obtidos:

Produto
Lata original
Lata minimizada
S
-----
471,24 cm²
427,68 cm²
V
678,87 cm³
785,40 cm³
679,07 cm³ r -----
5 cm
4,76 cm h -----
10 cm
9,54 cm

Otimização do rotulo da lata

Área do