Oscilações

Oscilações forçadas e amortecidas http://dfn.if.usp.br/~rliguori/FEP2196 Oscilações forçadas e amortecidas
Considere um sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso e sujeito à uma força exter na periódica.
- ρx
-kx
k

m
0

Fext

x

A força de resistência viscosa Fa é proporcioci
. e a força externa nal à velocidade, Fa=-ρx, ρ periódica é dada por Fext=F0cos(Ωt)
Ω

A equação de movimento será escrita como
&&
& mx = Fa + F + Fext = −ρx − kx + F0 cos(Ωt) ou seja
&& & mx + ρx + kx = F cos(Ωt) daí
0

F

cos(Ωt), onde ω0 = k é a freqüência m m

&& & x + γx + ω2 x = 0
0

de natural de oscilação, γ é a constante de decaimento e Ω é freqüência externa.

Equação do oscilador forçado e amortecido

.. .

F0 x+γx+ω0x= cos(Ωt) m 2

Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea

.. .

F0 cos(Ωt) x+γx+ω0x= m
2

Solução Geral x(t)=xh(t)+xp(t) Solução particular

Solução da homegênea

A solução da homegênea já foi discutida. Por exemplo γ se xp(t)=Re[z(t)]
Ω
Ω
Ω

xp(t)=A(Ω)cos[Ωt+ϕ(Ω)]
Ω
Ω
Ω
Equação de um oscilador harmônico de freqüência Ω amplitude A(Ω) e fase inicial ϕ(Ω)
Ω
Ω

Ressonância de Amplitude
A amplitude A(Ω) da solução estacionária é máxima
Ω
A(Ω) é máxima quando






2
2 − Ω2  + γ 2Ω2

ω0



for mínimo

d  ω2 − Ω2 2 + γ 2Ω2 = 0 ⇒ e 2 ω2 − Ω2 ×2Ω + 2γ2Ω = 0




 0

 0





dΩ
2
 2
2  + γ 2 = 0 ⇒ ΩA = ω2 − γ
2 ω0 − Ω 


R
0 2



Efeito da ressonância
Amortecime nto fraco → γ oscilações forçadas.
O pêndulo menor oscila com a fre qüência do pêndulo pesado.

d k m

M

Pêndulos idênticos d )

l
)

k

θ1
1

x1

θ2

l m m

2

x2

As equações que descrevem o sistema são as seguintes:
2
&& x1 + ω2 x1 = ω1 (x2 − x1) ω2 = g
0
0 l
2
2 k
&&
x2 + ω2 x2 = − ω1 (x2 − x1) ω1 = m
0

}

Sistema de equações diferenciais acopladas Solução do