Os três problemas clássicos da Geometria grega

Os três problemas clássicos da Geometria grega
Os três problemas clássicos da Geometria grega eram sobre como realizar uma construção geométrica usando somente régua e compasso. Tratavam-se dos seguintes problemas:
Duplicação do cubo:
Dado um cubo, construir outro cubo com o dobro do volume do anterior.
Trissecção do ângulo:
Dado um ângulo, construir um ângulo com um terço da amplitude.
Quadratura do círculo:
Dado um círculo, construir um quadrado com a mesma área.
Vamos ver os dois primeiros problemas com algum detalhe; o terceiro já tem a sua própria página. Mas antes disso, vejamos o que se quer dizer exactamente com «construir usando apenas régua e compasso».
Construções com régua e compasso
As construções com régua e compasso são frequentemente designadas por «construções euclidianas», pelo que poderá ser uma surpresa para algumas pessoas constatar que os termos «régua» e «compasso» não surgem nos Elementos de Euclides. De facto, Euclides só usa as expressões «construir um segmento», «prolongar um segmento» e «construir uma circunferência», sem mencionar os instrumentos a utilizar para se obterem efectivamente tais construções. Mas é fácil ver que as regras estipuladas por Euclides equivalem ao uso da régua e do compasso de acordo com as seguintes regras: régua: só pode ser usada para, dados dois pontos A e B, construir um segmento, tão longo quanto se queira, que contenha aqueles dois pontos; compasso: só pode ser usado para, dados dois pontos A e B, construir a circunferência de centro A e que passa por B.
Vejamos o que não se pode fazer com régua e compasso. Se a régua tiver pontos marcados (ou seja, se for uma régua graduada), estes não podem usados nas construções. Esta restrição não é trivial, como será visto mais à frente. Quanto ao compasso, este não pode ser usado para transportar distâncias (é aquilo que se designa por uma compasso «de pontas caídas», ou seja, é como se se fechasse assim que é levantado do papel). Ao contrário da