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PRIMEIRA PROVA_SOLUÇÃO – 2008/02

QUESTÃO 01 – Dado o sinal periódico, de período igual a 6, encontre a sua transformada Z.

Resp.
Dado que x(n) é periódica, então: x(n)  x(n  6)

(1.1)

Sabendo que (Ogata, pag. 32):

E aplicando a transformada Z dos dois lados da expressão (1.1) acima temos:
5


X ( z )  z 6  X ( z )   x(k ) z  k  k 0



ou

X ( z )  z 6  X ( z )  1z 0  1z 1  1z 2  1z 0  1z 1  1z 2 


X ( z ) 1  z 6    z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z1




X ( z) 

 z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z1
1 z6

Questão 02 – Considere o sinal U(z) dado por:
U ( z) 

z z  z2
2

encontre u(k) e calcule u(∞) por dois métodos distintos.
Resp.
Expandindo U(z) pelo método das frações parciais temos:
U ( z) 

1
2
z
 3  3 z2  z  2 z 1 z  2


1  z 1  2  z 1 
U ( z)  
 

3  1  z 1  3  1  2 z 1 

Consultando as tabelas de transformada (Ogata, pag.30, item 19), temos: x(k ) 

1 k 1 2 k 1
1   2 
3
3


1 2 k 1 x(k )    2 
3 3

A série não converge, pois para um k no infinito e positivo o valor de x(k) é -∞. Para K no infinito e ímpar o valor de x(k) é +∞. Esta observação decorre diretamente da expressão de x(k).
Outra forma de verificar o acima citado é calcular a série para alguns valores de k.

k
X(k)

0
0

1
1

2
-1

3
3

4
-5

5
11

6
-21

7
43

8
-85

...

90
-4.1265e+026

91
8.2529e+026

Como se vê a resposta diverge, oscilando entre valores positivos e negativos, a medida que o valor de k aumenta.

QUESTÃO 03 – Calcule a inversa de X(z) pelo método das frações parciais, onde:

Resp.
a)

Expandindo X(z) em frações parciais temos:

X ( z) 

1
0.5
 z  1 z  0.5


X ( z) 

z 1
0.5 z 1

1  z 1 1  0.5 z 1

Consultando o Ogata, pag.30, item 19, temos: x(k )  1

k 1

 0.5  0.5

k 1



x(k )  1   0.5

b)

k

Expandindo