Módulos

Índice
1. Módulo 1.1 Definição 1.2 Interpretação Geométrica 1.3 Algumas Propriedades 1.4 Exercícios Resolvidos 1.5 Exercícios Propostos 2. Equações Modulares 2.1 Exercícios Resolvidos 2.2 Exercícios Propostos 3. Inequações Modulares 3.1 Exercícios Resolvidos 3.2 Exercícios Propostos 4. Gabarito

1. Módulo

1.1. Definição

Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou um número real denominado módulo de x representado por x e obtido do seguinte modo: x  x se x  0 x   x se x  0

1º) Se x é positivo ou nulo, o seu módulo é ele mesmo. Exemplos: a) O módulo de 5 é igual a 5, isto é 5  5 b) O módulo de 0 é igual a 0, isto é 0  0 c) O módulo de 4 é igual a 4 , isto é
4  4

d) O módulo de 21 é igual a 21, isto é 21  21

2º) Se x é negativo, o seu módulo é obtido trocando o seu sinal. Exemplos: a) O módulo de –2 é igual a +2, isto é  2  (2)   2  2 b) O módulo de
 4

é

igual

a

4,

isto

é

 4  ( 4 )   4  4

c) O módulo de -10 é igual a 10, isto é  10  (10)   10  10

O módulo ou valor absoluto de um número real é sempre positivo

1.2 Interpretação Geométrica

Sabemos que um número real x está associado a um ponto da reta. Podemos interpretar o módulo de x como sendo a distância do ponto que representa x ao ponto que representa o número 0.

Exemplos: a) No esquema abaixo, o número real 3 está associado ao ponto A. O módulo de 3 é igual à distância entre A e 0.
-1 0 1 2 3 4

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3

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0 A    

b) No próximo esquema abaixo, o número real é –3 e está associado ao ponto B. O módulo de -3 é igual à distância entre B e 0.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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/

/
3

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B 0    

1.3 Algumas Propriedades

Sendo x e y quaisquer números reais, teremos algumas propriedades:

M1 M2 M3

x  x xy  x  y x x  y y

M4 M5

x  x2 x 0 x0
2

 y  0

M6

x2 