Método da Variação dos Parâmetros

Bom dia galera,

Vou postar aqui pra vocês a aula que tive de EDO semana passada. Achei muito interessante e achei por bem compartilhar aqui no blog.

O Método da Variação dos Parâmetros ou Método de Lagrange é um método muito mais poderoso. Consiste no método dos coeficientes a determinar, afim de obter uma solução particular de uma EDO ordinária linear uma vez que resolve equações com coeficientes variáveis.

Vamos ao que interessa:

Considere a EDO de 2ª ordem:

y''+p(t)y'+q(t)y = g(t)\,\,\,\,(1); em que p,q,g são contínuas em um intervalo aberto I.

Suponha já conhecida uma solução geral da equação homogênea y''+p(t)y'+q(t)y = 0\,\,\, (2) associada à equação não homogênea (1)

Considere que y_1 e y_2 formam um conjunto fundamental das soluções para a Eq (2).

O método consiste em supor que:

y = u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)\,\,\,\,(3)

Como solução particular da equação (1) – Lembrando que u_1 e u_2 são funções que dependem da variável t, não são aquelas mesmas constantes quanto acha a solução geral da EDO de 1ª ordem c1 e c2, no entanto, podemos comparar de modo análogo o raciocínio.

Derivando a função y em relação a t temos:

y' = (u_1y_1)'+(u_2y_2)' = u'_1y_1+u_1y'_1 + u'_2y_2+u_2y'_2

Agora vem a “sacada” de Lagrange: vamos supor que:

u'_1y_1+u'_2y_2 = 0\,\,\,(*)\Rightarrow y' = u_1y'_1+u_2y'_2\,\,\,(4)

Um pausa: Confesso que na hora não entendi a conveniência de considerar essa hipótese para prosegguir a demonstração, parecia que ele estava particularizando o caso, mas na verdade está, pois quando há essa restrição teremos que verificar as condições de solução para a EDO restante, utilizaremos a equação (*) mais a frente.

Uma pequena e não suficiente justificativa encontra-se nesse tópico nesse forum.

Voltando…

Derivando y’ temos:

y'' = u_1y_1+u_1y''_1+u'_2y'_2+u_2y''_2\,\,\,(5)

Substituindo as Eqs (3), (4) e (5) em (1), obtemos, após a simplicação isso: