Metódo smoothed particle hydrodynamics

Método SPH – FORMULAÇÃO BÁSICA

DANILO DE ALMEIDA BARBOSA
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Método SPH – FORMULAÇÃO BÁSICA
Os fundamentos do método SPH estão na teoria da interpolação integral, onde do ponto de vista computacional representa-se o fluido como um conjunto de partículas evoluindo com a velocidade do escoamento.

Método SPH – FORMULAÇÃO BÁSICA

Método SPH – FORMULAÇÃO BÁSICA

Método SPH – FORMULAÇÃO BÁSICA

f ( x)   f ( x' )W ( x  x' , h)dx'


Assim:

f ( x)   f ( x' )W ( x  x' , h)dx'


FORMULAÇÃO DO MÉTODO SPH: análise matemática da expressão do divergente e gradiente de uma função genérica
Seja f i  f (x ) uma função vetorial genérica, onde í é o índice que indica as coordenadas x,y,z na notação de Einstein. Dada a expressão



W f i   fi dx' x j x j 
Se considerarmos que

f i  constante, então:
f i 0 x j

Porém

  fi


W x j

dx'  0

FORMULAÇÃO DO MÉTODO SPH: análise matemática da expressão do divergente e gradiente de uma função genérica

Então,

f ( x)   f ( x)  f ( x)
f ( x )  1



f ( x)  

1



f ( x)

FORMULAÇÃO DO MÉTODO SPH: análise matemática da expressão do divergente e gradiente de uma função genérica

f ( x ) 

1



f ( x)  

1



f ( x)

f ( x)     ' f ( x' )W ( x  x' , h)dx'


    'W ( x  x' , h)dx'


f ( x ) 

1



  ' f ( x' )Wdx' f ( x)

1



 'Wdx' 

FORMULAÇÃO DO MÉTODO SPH: análise matemática da expressão do divergente e gradiente de uma função genérica

A correção apresentada em diversas literaturas (LIU & LIU 2003; J.H. Jeong et. al 2003; Nor Azwadi C. S et. al 2012) partem da utilização da propriedade do divergente que aplicada a formulação básica SPH para divergente acaba em fornecer:

     f ( x )     f ( x )  f ( x )  
     f ( x )    f ( x )   f ( x )  
  1 1    f ( x )     f ( x )   f