MedidasEDITADO

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – UERJ
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – IME

MEDIDAS DE GEOMETRIA
CARLA DE AZEVEDO
DANIELE MOTTA

RIO DE JANEIRO
2015

Semelhança de Triângulos

Para início do assunto, se faz necessário recordarmos dois conceitos vistos nas apresentações dos grupos anteriores.
Homotetia:
Seja ρ: π π definida do seguinte modo: ρ(0) = 0 e, para todo ponto X≠0 ρ(X)=X” é o ponto da semi-reta OX tal que OX’ = r.OX.

Semelhança:
Dada a função α: π  π X  X’
Temos que α será uma semelhança se:

1) α é uma bijeção;
2) , onde r é dito a razão de semelhança de α, para todo X e Y.

Obs.: Numa homotetia os pontos O X, e X’ são sempre colineares. Já na semelhança, as figuras F e F’ podem ocupar posições quaisquer, como numa foto e sua ampliação, que podem ser colocadas em vários lugares diferentes e continuam sempre semelhantes.

Usaremos esses conceitos para provar propriedades da semelhança de triângulos.

Teorema: Dois triângulos semelhantes têm ângulos iguais e lados homólogos proporcionais. Da mesma maneira, se dois triângulos cumprem uma das três condições abaixo, então eles são semelhantes, e satisfazem as demais:

(1) Têm lados proporcionais;
(2) Têm ângulos iguais;
(3) Têm um ângulo igual compreendido entre lados proporcionais.

Usaremos as informações da figura acima para provar as três condições do teorema:

A demonstração do teorema é dividida em duas partes e a segunda parte é subdividida em três partes:

I. Primeira parte – “Dois triângulos semelhantes têm ângulos iguais e lados homólogos proporcionais”.
Sejam ABC e A’B’C’ dois triângulos. Se σ : ABC → A’B’C’ é uma semelhança de razão r entre os triângulos, então:

A’=A, B’=B,C’=C
De fato, como σ é uma semelhança e σ(A) = A’, σ(B) = B’, σ(C) = C’, temos que:

Assim,

Seja δ a homotetia de centro A e razão r. Suponha que r < 1. Então temos na figura, δ(A) = A, δ(B) = B00, δ(C) = C’’. Pelo teorema fundamental, B’’C’’’ é a imagem de