Mecânica

[pic]

EXPERIMENTO N( 1 : Cálculo de Máximo e Mínimo por Derivação

Engenharia Mecânica – Disciplina de Introdução à Engenharia - IEMEC

Objetivos: Determinar os valores de máximos ou mínimos de funções f(x) através da derivação, como podemos averiguar a seguir que a derivação é uma ferramenta poderosa na solução de problemas nas áreas de Engenharia, Física, Biologia, Geometria e Economia.

Introdução Teórica: Determinação de Valores de Máximos e Mínimos Relativos

Seja dada uma determinada função y = f (x) conforme ilustração abaixo:

[pic]

Os valores críticos são os valores de (x) para os quais y’ = 0 ou para os quais a y’ não está definida, os pontos B,C,D,F e H são os pontos críticos da curva e as abscissas são valores críticos para a função, ou seja, x = b, x = c, x = d, x = f e x = h.

Como podemos observar que os pontos C e F são pontos de Máximo Relativo e D e H são pontos de Mínimo Relativo, entretanto o ponto B é um ponto crítico porem não é Máximo e nem Mínimo Relativo.

Método da Primeira Derivada:

a) Achar a primeira derivada f’(x) e os valores críticos. b) Fazer (x) crescer passando pelo valor crítico.

f(x) ( Valor Máximo [= f(x0)] se f’(x) ( + p/ - ; f(x) ( Valor Mínimo [= f(x0)] se f’(x) ( - p/ + ; f(x) ñ passa p/ Valor Máximo nem Mínimo se f’(x) não trocar de sinal.

Método da Segunda Derivada:

a) Achar a primeira derivada f’(x) e os valores críticos. b) Achar a segunda derivada f”(x). c) Para um valor crítico x = x0;

f(x) (Valor Máximo [ = f(x0) ] se f”(x0) < 0; f(x) ( Valor Mínimo [ = f(x0) ] se f”(x0) > 0; O teste falha se f”(x) = 0 em x = x0 ou se torna infinita.

Exemplo Teórico : Dada a função f(x) = 1/12(x4 + 6x3 - 18 x2), determinar os pontos máximos e mínimos relativos da função.

Solução:

Fazer a primeira derivada de f(x), ou seja:

f’(x) = 1/12(4x3 + 18x2 – 36x)

= 1/6(2x2 + 9x – 18)

=