Matemática

4.4 Funções exponenciais f é uma função exponencial de t com base a se f tB . a t . Nessa fórmula, B é a quantidade inicial (quando t 0 ) e a é o fator pelo qual f varia quando t cresce uma unidade. Se a 1, temos crescimento exponencial; se 0 a 1, temos decaimento exponencial. O maior domínio possível para a função exponencial são todos os números reais, desde que a 0. Não se usa a 1 porque teríamos uma função constante; também não se usa a 0 ou base negativa porque, para muitos valores de t, a expressão a t não teria sentido como, por exemplo, 1 2 9 .
Para reconhecer se uma função y f x, dada por uma tabela numérica, é exponencial, basta verificar se existe uma razão constante entre valores de y e valores de x igualmente espaçados.
O período de duplicação de uma população que cresce exponencialmente é o tempo necessário para que dobre de tamanho.
A meia vida de uma grandeza que decai exponencialmente é o tempo necessário para que seja reduzida à metade.
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A fórmula f tB . a t é uma família de funções com os parâmetros B (a quantidade inicial) e a (a base ou o fator de crescimento). A base tem a mesma importância para uma função exponencial que a inclinação tem para a função linear. Assim, quando a 1, a função é crescente e, quando 0 a 1, a função é decrescente. Como a é o fator pelo qual f varia quando t cresce, valores grandes de a significam crescimento rápido da função; por outro lado, valores de a, próximos de 0, significam decaimento rápido de f . Os gráficos da Figura 4.4 nos permitem observar esses aspectos da função exponencial.
Figura 4.4
Tanto o crescimento quanto o decaimento exponencial podem ser descritos em termos de percentuais. Assim, se um capital rende 2% de juros ao mês, o fator de crescimento dessa aplicação é a 10,02 1,02 . Em geral, se r é a taxa percentual de crescimento, então a 1r e a função exponencial é
t
0 Q f t Q . 1r .
De modo análogo, se a