Matemática

Prof. Cícero José – UNIBAN 2013 Métodos Matemáticos para a Engenharia

Integrais Múltiplas
1. Introdução
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a, b] x [c, d] = {(x, y) ∈ R2 / a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}. y d

R c a b x

e vamos, inicialmente, supor f(x, y) ≥ 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x, y).

z

S

y

R x Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.

Nosso objetivo é determinar o volume de S.

Prof. Cícero José – UNIBAN 2013 Métodos Matemáticos para a Engenharia

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi–1, xi], de mesmo comprimento ∆x = (b – a) / m, e o intervalo [c, d] em n subintervalos [yj–1, yj], de mesmo comprimento ∆y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [xi–1, xi] X [yj–1, yj ] = {(x, y) / xi–1 ≤ x ≤ x, yj–1 ≤ y ≤ yj} cada um dos quais com área ∆A = ∆x∆y. y

R d • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Ri j (xij, yij)

yj ∆y yj–1 y2 y1 c a

x1

x2

xi–1 xi ∆x

b

x

Se escolhermos um ponto arbitrário (xij, yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij, yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base: Vij = f(xij, yij)∆A. Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:

V≈

∑