Matemática

QUADRILÁTEROS E TRIÂNGULOS
Marcelo Mendes
( Nível Intermediário

Apresentamos a seguir alguns resultados que servem de ferramenta para resolução de problemas de geometria elementar envolvendo quadriláteros e triângulos, bastante freqüentes em problemas de olimpíada.

QUADRILÁTEROS INSCRITÍVEIS

Os ângulos opostos de um quadrilátero inscritível são suplementares. Reciprocamente, se os ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares, então esse quadrilátero é inscritível (cíclico).
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Além disso, se ocorrer uma situação onde dois ângulos iguais “olham” para um mesmo segmento, então os extremos desse segmento e os vértices dos dois ângulos formam um quadrilátero inscritível.
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Exemplo: Seja AB o diâmetro de um semicírculo. Um ponto M é marcado no semicírculo e um ponto K é marcado sobre AB. Um círculo com o centro P passa por A, M, K e um círculo com centro Q passa por M, K, B. Prove que M, K, P, Q pertencem a um mesmo círculo.

Solução: No círculo circunscrito de AMK, (MPK = 2(MAK; e no círculo circunscrito de BMK, (MQK = 2(MBK. Como AB é diâmetro do semicírculo, (AMB = 90o e (MAK+(MBK = 90o. Daí, (MPK+(MQK = 180o e MPKQ é inscritível.

TEOREMA DE PTOLOMEU

Se ABCD é um quadrilátero inscritível de diagonais AC e BD, então:
AB ( CD + AD ( BC = AC ( BD.
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Prova: Seja x = BD e y = AC e a, b, c, d, os comprimentos dos lados. Construa (CDE = (ABD, E ( AC. Daí, (CDE ( (ADB e (ADE ( (BCD, dando, respectivamente, EC(x = ac e AE(x = bd. Somando essas duas últimas equações, temos xy = ac + bd, como queríamos provar (

Há também uma extensão para esse