Matemática

Actividade Formativa 3
1. (9.2 1) Determine os valores estacion´rios das seguintes fun¸oes (determine se s˜o a c˜ a m´ximos ou m´ a ınimos relativos, ou pontos de inflex˜o), admitindo que o dom´ a ınio ´ e R: a. f (x) = −2x2 + 8x + 7. b. g(x) = 5x2 + x. c. h(x) = 3x2 + 3. d. k(x) = 3x2 − 6x + 2. 2. (9.2 2) Determine os valores estacion´rios das seguintes fun¸oes (determine se s˜o m´ximos a c˜ a a ou m´ ınimos relativos, ou pontos de inflex˜o), admitindo que o dom´ ´ [0, +∞[: a ınio e a. f (x) = x3 − 3x + 5. 1 b. g(x) = x3 − x2 + x + 10. 3 9 c. h(x) = −x3 + x2 − 6x + 6. 2 3. (9.2 3) Mostre que a fun¸ao y = x + 1/x para x = 0 tem dois extremos relativos, sendo c˜ um deles um m´ximo e o outro um m´ a ınimo. O “m´ ınimo”´ maior ou menor que o e “m´ximo”? Explique este resultado paradoxal. a 4. (9.2 4) Seja T = ϕ(x) uma fun¸˜o total (por exemplo produ¸ao total, ou custo total) ca c˜ a. Escreva as express˜es para a fun¸˜o marginal M e para a fun¸ao m´dia A. o ca c˜ e b. Mostre que quando A alcan¸a um extremo relativo, M e A devem ter o mesmo c valor. c. Que princ´ ıpio geral para o desenho de uma curva marginal e de uma curva m´dia e no mesmo diagrama ´ que a al´ e ınea anterior sugere? d. Qual a conclus˜o sobre a elasticidade da fun¸˜o total T no ponto onde A alcan¸a a ca c um valor extremo? 5. (9.3 1) Calcule a segunda e a terceira derivadas das seguintes fun¸˜es: co a. f (x) = ax2 + bx + c. b. g(x) = 7x4 − 3x − 4. 3x , x = 1. c. h(x) = 1−x 1+x d. k(x) = , x = 1. 1−x

6 (9.3 2) Quais das seguintes fun¸˜es quadr´ticas s˜o estritamente convexas? co a a a. y = 9x2 − 4x + 8. b. w = −3x2 + 39. c. u = 9 − 2x2 . d. v = 8 − 5x + x2 . 7 (9.4 1) Calcule os m´ximos e os m´ a ınimos relativos das seguintes fun¸oes usando o teste c˜ da segunda derivada: a. f (x) = −2x2 + 8x + 25. b. g(x) = x3 + 6x2 + 9. x3 c. h(x) = − 3x2 + 5x + 3. 3 2x 1 d. k(x) = ,x = . 1 − 2x 2 8 (9.4 3) Uma empresa tem as seguintes fun¸oes custo total e procura: c˜  Q3  − 7Q2 + 111Q + 50, C= 3 Q = 100 − P.